Номер 2.32, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.32, страница 57.

2.32 Найдите многочлен А, для которого верно равенство:

а) $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) \cdot A;$

в) $x^{12} - 1 = (x^2 - 1) \cdot A;$

д) $x^{12} - 1 = (x - 1) \cdot A;$

ж) $x^6 - 64 = (x - 2) \cdot A;$

б) $x^{12} - 1 = (x^2 + 1) \cdot A;$

г) $x^{12} - 1 = (x + 1) \cdot A;$

е) $x^5 - 32 = (x - 2) \cdot A;$

з) $x^7 - 128 = (x - 2) \cdot A.$

а) Чтобы найти многочлен $A$, необходимо разделить $x^{12} - 1$ на $x^4 - 1$. Для этого представим $x^{12}$ как $(x^4)^3$ и воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^{12} - 1 = (x^4)^3 - 1^3 = (x^4 - 1)((x^4)^2 + x^4 \cdot 1 + 1^2) = (x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$.
Сравнивая полученное выражение с исходным равенством $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) \cdot A$, находим $A$.
Ответ: $A = x^8 + x^4 + 1$.

б) Чтобы найти многочлен $A$, нужно разделить $x^{12} - 1$ на $x^2 + 1$. Разложим $x^{12} - 1$ на множители, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^6 - 1)((x^2)^3 + 1^3) = (x^6 - 1)(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$.
Отсюда $A = \frac{(x^6 - 1)(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}{x^2 + 1} = (x^6 - 1)(x^4 - x^2 + 1)$.
Раскроем скобки: $A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.
Ответ: $A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.

в) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x^2 - 1$. Сделаем замену $y = x^2$. Тогда $x^{12} = y^6$. Выражение принимает вид $y^6 - 1 = (y - 1) \cdot A$.
Для нахождения $A$ воспользуемся формулой разности степеней: $\frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$.
$A = \frac{y^6 - 1}{y - 1} = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y + 1$.
Выполним обратную замену $y = x^2$: $A = (x^2)^5 + (x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1 = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.
Ответ: $A = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.

г) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x + 1$. Можно выполнить деление многочленов столбиком или использовать тот факт, что $x=-1$ является корнем многочлена $x^{12} - 1$.
При делении $x^{2n}-1$ на $x+1$ частное равно $x^{2n-1} - x^{2n-2} + \dots + x - 1$.
В нашем случае $2n=12$, поэтому:
$A = \frac{x^{12} - 1}{x + 1} = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.
Ответ: $A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.

д) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x - 1$. Воспользуемся формулой разности степеней:
$A = \frac{x^{12} - 1^{12}}{x - 1} = x^{11} + x^{10} \cdot 1^1 + \dots + 1^{11} = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Ответ: $A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

е) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^5 - 32$ на $x - 2$. Заметим, что $32 = 2^5$.
Воспользуемся формулой разности степеней $\frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$ для $a=x$, $b=2$ и $n=5$:
$A = \frac{x^5 - 2^5}{x - 2} = x^4 + x^3 \cdot 2^1 + x^2 \cdot 2^2 + x^1 \cdot 2^3 + 2^4 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.
Ответ: $A = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.

ж) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^6 - 64$ на $x - 2$. Заметим, что $64 = 2^6$.
Используем ту же формулу для $a=x$, $b=2$ и $n=6$:
$A = \frac{x^6 - 2^6}{x - 2} = x^5 + x^4 \cdot 2^1 + x^3 \cdot 2^2 + x^2 \cdot 2^3 + x^1 \cdot 2^4 + 2^5 = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.
Ответ: $A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.

з) Чтобы найти многочлен $A$, разделим $x^7 - 128$ на $x - 2$. Заметим, что $128 = 2^7$.
Используем формулу разности степеней для $a=x$, $b=2$ и $n=7$:
$A = \frac{x^7 - 2^7}{x - 2} = x^6 + x^5 \cdot 2^1 + x^4 \cdot 2^2 + x^3 \cdot 2^3 + x^2 \cdot 2^4 + x^1 \cdot 2^5 + 2^6 = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.
Ответ: $A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.