Номер 2.36, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.4*. Теорема Безу. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.36, страница 60.

2.36 С помощью теоремы Безу докажите, что многочлен:

a) $17x^3 - 13x^2 - 4$ делится на двучлен $x - 1$ без остатка;

б) $5x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 6$ делится на двучлен $x + 1$ без остатка;

в) $x^4 - 3x^2 - 4$ делится на двучлен $x + 2$ без остатка.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $R = P(a)$.

Следствием из этой теоремы является то, что многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-a$ без остатка (то есть остаток равен нулю) тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$.

а) Докажем, что многочлен $P(x) = 17x^3 - 13x^2 - 4$ делится на двучлен $x - 1$ без остатка.

Для двучлена $x-1$ значение $a=1$. Проверим, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x=1$.

Подставим $x=1$ в многочлен:

$P(1) = 17 \cdot 1^3 - 13 \cdot 1^2 - 4 = 17 \cdot 1 - 13 \cdot 1 - 4 = 17 - 13 - 4 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $17x^3 - 13x^2 - 4$ делится на $x - 1$ без остатка.

Ответ: Доказано.

б) Докажем, что многочлен $P(x) = 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 6$ делится на двучлен $x + 1$ без остатка.

Для двучлена $x+1$, который можно записать как $x - (-1)$, значение $a=-1$. Проверим, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x=-1$.

Подставим $x=-1$ в многочлен:

$P(-1) = 5 \cdot (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 6 = 5 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 - 6 = 5 - 2 + 3 - 6 = 0$.

Поскольку $P(-1) = 0$, многочлен $5x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 6$ делится на $x + 1$ без остатка.

Ответ: Доказано.

в) Докажем, что многочлен $P(x) = x^4 - 3x^2 - 4$ делится на двучлен $x + 2$ без остатка.

Для двучлена $x+2$, который можно записать как $x - (-2)$, значение $a=-2$. Проверим, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в многочлен:

$P(-2) = (-2)^4 - 3 \cdot (-2)^2 - 4 = 16 - 3 \cdot 4 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$.

Поскольку $P(-2) = 0$, многочлен $x^4 - 3x^2 - 4$ делится на $x + 2$ без остатка.

Ответ: Доказано.