Страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

$2.34^\circ$ Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу — это одно из ключевых утверждений в алгебре, которое устанавливает связь между значением многочлена в точке и остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен.

Формулировка теоремы

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

Доказательство

Согласно теореме о делении многочленов с остатком, для любого многочлена $P(x)$ и делителя $(x - c)$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что выполняется тождество:
$P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + R(x)$

При этом степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $(x - c)$. Степень двучлена $(x - c)$ равна 1. Следовательно, степень остатка $R(x)$ должна быть равна 0, что означает, что остаток является константой (числом), не зависящей от $x$. Обозначим этот остаток просто как $R$.

Таким образом, тождество можно переписать в виде:
$P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + R$

Это равенство верно для любого значения переменной $x$. Подставим в него значение $x = c$:
$P(c) = (c - c) \cdot Q(c) + R$
Выполним вычисления:
$P(c) = 0 \cdot Q(c) + R$
$P(c) = 0 + R$
$P(c) = R$

Мы получили, что остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на $(x - c)$ равен значению многочлена $P(x)$ в точке $x = c$. Теорема доказана.

Важное следствие из теоремы Безу (Теорема о корне многочлена)

Число $c$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка.

Доказательство следствия:
1. Прямое утверждение: Если $c$ — корень $P(x)$, то по определению $P(c) = 0$. Согласно теореме Безу, остаток $R$ при делении $P(x)$ на $(x - c)$ равен $P(c)$. Следовательно, $R = 0$, а это значит, что $P(x)$ делится на $(x - c)$ нацело.
2. Обратное утверждение: Если $P(x)$ делится на $(x - c)$ без остатка, то остаток $R = 0$. Согласно теореме Безу, $P(c) = R$. Следовательно, $P(c) = 0$, что по определению означает, что $c$ является корнем многочлена $P(x)$.

Ответ: Теорема Безу гласит, что остаток, получаемый при делении многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $(x - c)$, равен значению этого многочлена в точке $x = c$, то есть равен $P(c)$.

2.35 С помощью теоремы Безу найдите остаток от деления многочлена:

a) $3x^3 - 2x^2 - 4x - 5$ на $x - 1$; на $x - 2$; на $x - 3$;

б) $x^4 + 2x^3 + x^2 + 5$ на $x - (-1)$; на $x + 2$; на $x + 3$;

в) $x^4 - 16$ на $x + 2$; на $x - 2$; на $x + 1$.

а) Для многочлена $P(x) = 3x^3 - 2x^2 - 4x - 5$:

1. При делении на $(x - 1)$, по теореме Безу, остаток равен значению многочлена в точке $x=1$.
$R_1 = P(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 5 = 3 - 2 - 4 - 5 = -8$.

2. При делении на $(x - 2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=2$.
$R_2 = P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 5 = 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 - 8 - 5 = 24 - 8 - 8 - 5 = 3$.

3. При делении на $(x - 3)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=3$.
$R_3 = P(3) = 3(3)^3 - 2(3)^2 - 4(3) - 5 = 3 \cdot 27 - 2 \cdot 9 - 12 - 5 = 81 - 18 - 12 - 5 = 46$.

Ответ: при делении на $(x - 1)$, $(x - 2)$ и $(x - 3)$ остатки равны $-8$, $3$ и $46$ соответственно.

б) Для многочлена $P(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 5$:

1. При делении на $x - (-1) = x+1$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-1$.
$R_1 = P(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 + (-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$.

2. При делении на $x + 2 = x - (-2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-2$.
$R_2 = P(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 + (-2)^2 + 5 = 16 - 16 + 4 + 5 = 9$.

3. При делении на $x + 3 = x - (-3)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-3$.
$R_3 = P(-3) = (-3)^4 + 2(-3)^3 + (-3)^2 + 5 = 81 - 54 + 9 + 5 = 41$.

Ответ: при делении на $x - (-1)$, $x+2$ и $x+3$ остатки равны $5$, $9$ и $41$ соответственно.

в) Для многочлена $P(x) = x^4 - 16$:

1. При делении на $x + 2 = x - (-2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-2$.
$R_1 = P(-2) = (-2)^4 - 16 = 16 - 16 = 0$.

2. При делении на $(x - 2)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=2$.
$R_2 = P(2) = 2^4 - 16 = 16 - 16 = 0$.

3. При делении на $x + 1 = x - (-1)$, остаток равен значению многочлена в точке $x=-1$.
$R_3 = P(-1) = (-1)^4 - 16 = 1 - 16 = -15$.

Ответ: при делении на $x+2$, $(x-2)$ и $x+1$ остатки равны $0$, $0$ и $-15$ соответственно.

2.36 С помощью теоремы Безу докажите, что многочлен:

a) $17x^3 - 13x^2 - 4$ делится на двучлен $x - 1$ без остатка;

б) $5x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 6$ делится на двучлен $x + 1$ без остатка;

в) $x^4 - 3x^2 - 4$ делится на двучлен $x + 2$ без остатка.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $R = P(a)$.

Следствием из этой теоремы является то, что многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-a$ без остатка (то есть остаток равен нулю) тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$.

а) Докажем, что многочлен $P(x) = 17x^3 - 13x^2 - 4$ делится на двучлен $x - 1$ без остатка.

Для двучлена $x-1$ значение $a=1$. Проверим, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x=1$.

Подставим $x=1$ в многочлен:

$P(1) = 17 \cdot 1^3 - 13 \cdot 1^2 - 4 = 17 \cdot 1 - 13 \cdot 1 - 4 = 17 - 13 - 4 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $17x^3 - 13x^2 - 4$ делится на $x - 1$ без остатка.

Ответ: Доказано.

б) Докажем, что многочлен $P(x) = 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 6$ делится на двучлен $x + 1$ без остатка.

Для двучлена $x+1$, который можно записать как $x - (-1)$, значение $a=-1$. Проверим, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x=-1$.

Подставим $x=-1$ в многочлен:

$P(-1) = 5 \cdot (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 6 = 5 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 - 6 = 5 - 2 + 3 - 6 = 0$.

Поскольку $P(-1) = 0$, многочлен $5x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 6$ делится на $x + 1$ без остатка.

Ответ: Доказано.

в) Докажем, что многочлен $P(x) = x^4 - 3x^2 - 4$ делится на двучлен $x + 2$ без остатка.

Для двучлена $x+2$, который можно записать как $x - (-2)$, значение $a=-2$. Проверим, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в многочлен:

$P(-2) = (-2)^4 - 3 \cdot (-2)^2 - 4 = 16 - 3 \cdot 4 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$.

Поскольку $P(-2) = 0$, многочлен $x^4 - 3x^2 - 4$ делится на $x + 2$ без остатка.

Ответ: Доказано.

2.37 Найдите остаток от деления многочлена:

а) $(x - 4)^{30}$ на $x - 5$; на $x - 3$;

б) $(2x + 3)^9$ на $x + 2$; на $x + 1$;

в) $(3x + 8)^{2000}$ на $x + 3$.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы Безу, которое утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $x = c$, то есть $R = P(c)$.

а) Найти остаток от деления многочлена $P(x) = (x - 4)^{30}$ на $x - 5$ и на $x - 3$.

• При делении на $x - 5$, корень делителя $c = 5$. Остаток равен $P(5)$: $P(5) = (5 - 4)^{30} = 1^{30} = 1$.
  Ответ: 1.
• При делении на $x - 3$, корень делителя $c = 3$. Остаток равен $P(3)$: $P(3) = (3 - 4)^{30} = (-1)^{30} = 1$.
  Ответ: 1.

б) Найти остаток от деления многочлена $P(x) = (2x + 3)^9$ на $x + 2$ и на $x + 1$.

• При делении на $x + 2$, корень делителя $c = -2$. Остаток равен $P(-2)$: $P(-2) = (2(-2) + 3)^9 = (-4 + 3)^9 = (-1)^9 = -1$.
  Ответ: -1.
• При делении на $x + 1$, корень делителя $c = -1$. Остаток равен $P(-1)$: $P(-1) = (2(-1) + 3)^9 = (-2 + 3)^9 = 1^9 = 1$.
  Ответ: 1.

в) Найти остаток от деления многочлена $P(x) = (3x + 8)^{2000}$ на $x + 3$.

• При делении на $x + 3$, корень делителя $c = -3$. Остаток равен $P(-3)$: $P(-3) = (3(-3) + 8)^{2000} = (-9 + 8)^{2000} = (-1)^{2000} = 1$.
  Ответ: 1.

2.38 Выясните, делится ли без остатка многочлен:

а) $12x^3 - 14x^2 + 2$ на двучлен $x - 1;$

б) $x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ на двучлен $x - 2;$

в) $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x - 2;$

г) $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x + 1.$

Для того чтобы выяснить, делится ли многочлен $P(x)$ на двучлен $x-a$ без остатка, можно использовать следствие из теоремы Безу. Оно утверждает, что многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-a$ без остатка в том и только в том случае, если число $a$ является корнем многочлена, то есть $P(a) = 0$.

а) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = 12x^3 - 14x^2 + 2$ на двучлен $x - 1$.

В данном случае двучлен имеет вид $x-a$, где $a=1$. Найдем значение многочлена при $x=1$:

$P(1) = 12 \cdot 1^3 - 14 \cdot 1^2 + 2 = 12 \cdot 1 - 14 \cdot 1 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, многочлен $12x^3 - 14x^2 + 2$ делится на $x - 1$ без остатка.

Ответ: делится.

б) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ на двучлен $x - 2$.

Здесь $a=2$. Вычислим значение многочлена при $x=2$:

$P(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^3 + 2^2 + 4 = 16 - 3 \cdot 8 + 4 + 4 = 16 - 24 + 8 = 0$.

Так как $P(2) = 0$, многочлен $x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ делится на $x - 2$ без остатка.

Ответ: делится.

в) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x - 2$.

Здесь $a=2$. Найдем значение многочлена при $x=2$:

$P(2) = 2^4 - 2^3 + 2^2 - 2 - 4 = 16 - 8 + 4 - 2 - 4 = 6$.

Поскольку $P(2) = 6 \neq 0$, многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ не делится на $x - 2$ без остатка. Остаток от деления равен 6.

Ответ: не делится.

г) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x + 1$.

Двучлен $x + 1$ можно записать в виде $x - (-1)$, следовательно, $a=-1$. Вычислим значение многочлена при $x=-1$:

$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 4 = 1 - (-1) + 1 - (-1) - 4 = 1 + 1 + 1 + 1 - 4 = 0$.

Так как $P(-1) = 0$, многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ делится на $x + 1$ без остатка.

Ответ: делится.