Номер 2.43, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.5*. Корень многочлена. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.43, страница 65.

2.43 Найдите все корни многочлена $P(x)$, если:

a) Многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + ax + b$ делится на $x - 3$ без остатка, а при делении на $x + 3$ даёт остаток $-42$.

б) Многочлен $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$ делится на $x + 1$ без остатка, а при делении на $x + 2$ даёт остаток $-15$.

в) Многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 16$ делится на $x - 4$ без остатка, а при делении на $x + 1$ даёт остаток $15$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу: остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$. Если многочлен делится на $x-c$ без остатка, то $P(c) = 0$, и $c$ является корнем многочлена.

а)

Дан многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + ax + b$.

По условию, $P(x)$ делится на $x-3$ без остатка. Следовательно, $P(3) = 0$.

$P(3) = 3^3 - 5 \cdot 3^2 + a \cdot 3 + b = 27 - 5 \cdot 9 + 3a + b = 27 - 45 + 3a + b = -18 + 3a + b$.

Получаем первое уравнение: $3a + b - 18 = 0$, или $3a + b = 18$.

Также по условию, при делении $P(x)$ на $x+3$ остаток равен -42. Следовательно, $P(-3) = -42$.

$P(-3) = (-3)^3 - 5 \cdot (-3)^2 + a \cdot (-3) + b = -27 - 5 \cdot 9 - 3a + b = -27 - 45 - 3a + b = -72 - 3a + b$.

Получаем второе уравнение: $-72 - 3a + b = -42$, или $-3a + b = 30$.

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 3a + b = 18 \\ -3a + b = 30 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(3a + b) + (-3a + b) = 18 + 30$, что дает $2b = 48$, откуда $b = 24$.

Подставим $b=24$ в первое уравнение: $3a + 24 = 18$, откуда $3a = -6$ и $a = -2$.

Таким образом, многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 5x^2 - 2x + 24$.

Мы знаем, что $x_1 = 3$ является корнем. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $P(x)$ на $x-3$ (например, столбиком или по схеме Горнера).

$(x^3 - 5x^2 - 2x + 24) : (x - 3) = x^2 - 2x - 8$.

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета: $x_2 + x_3 = 2$ и $x_2 \cdot x_3 = -8$. Подбором находим корни $x_2 = 4$ и $x_3 = -2$.

Итак, все корни многочлена: 3, 4, -2.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3, x_3 = 4$.

б)

Дан многочлен $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$.

По условию, $P(x)$ делится на $x+1$ без остатка. Следовательно, $P(-1) = 0$.

$P(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 1 = -2 + a - b + 1 = a - b - 1$.

Получаем первое уравнение: $a - b - 1 = 0$, или $a - b = 1$.

При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен -15. Следовательно, $P(-2) = -15$.

$P(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 1 = 2(-8) + 4a - 2b + 1 = -16 + 4a - 2b + 1 = 4a - 2b - 15$.

Получаем второе уравнение: $4a - 2b - 15 = -15$, или $4a - 2b = 0$, что эквивалентно $2a - b = 0$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ 2a - b = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения $b = 2a$. Подставим это в первое уравнение: $a - 2a = 1$, откуда $-a=1$, и $a=-1$.

Тогда $b = 2a = 2(-1) = -2$.

Многочлен имеет вид: $P(x) = 2x^3 - x^2 - 2x + 1$.

Мы знаем, что $x_1 = -1$ является корнем. Разделим $P(x)$ на $x+1$:

$(2x^3 - x^2 - 2x + 1) : (x + 1) = 2x^2 - 3x + 1$.

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$, $x_3 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$.

Итак, все корни многочлена: -1, 1, 1/2.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{1}{2}, x_3 = 1$.

в)

Дан многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 16$.

По условию, $P(x)$ делится на $x-4$ без остатка. Следовательно, $P(4) = 0$.

$P(4) = 4^3 + a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 16 = 64 + 16a + 4b + 16 = 16a + 4b + 80$.

Получаем первое уравнение: $16a + 4b + 80 = 0$, разделив на 4, получим $4a + b + 20 = 0$, или $4a + b = -20$.

При делении $P(x)$ на $x+1$ остаток равен 15. Следовательно, $P(-1) = 15$.

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 16 = -1 + a - b + 16 = a - b + 15$.

Получаем второе уравнение: $a - b + 15 = 15$, или $a - b = 0$, откуда $a=b$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4a + b = -20 \\ a = b \end{cases}$

Подставим $b=a$ в первое уравнение: $4a + a = -20$, откуда $5a = -20$ и $a=-4$.

Так как $a=b$, то $b=-4$.

Многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16$.

Мы знаем, что $x_1 = 4$ является корнем. Для поиска остальных корней разложим многочлен на множители методом группировки:

$P(x) = (x^3 - 4x^2) - (4x - 16) = x^2(x - 4) - 4(x - 4) = (x^2 - 4)(x - 4)$.

Приравниваем к нулю: $(x^2 - 4)(x - 4) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$.

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2$.

Итак, все корни многочлена: 4, 2, -2.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2, x_3 = 4$.