Номер 2.50, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.50, страница 69.

2.50* a) $2x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 5x + 2 = 0;$

б) $3x^4 - 7x^3 + 8x^2 - 7x + 3 = 0;$

В) $2x^8 - 3x^6 - x^4 - 3x^2 + 2 = 0;$

Г) $5x^8 - 4x^6 - 2x^4 - 4x^2 + 1 = 0.$

а) $2x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 5x + 2 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны (2 и 2, 5 и 5).

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как свободный член $2 \neq 0$. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $x^2 \neq 0$:

$2x^2 + 5x + 6 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(2x^2 + \frac{2}{x^2}) + (5x + \frac{5}{x}) + 6 = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения для замены в преобразованное уравнение:

$2(y^2 - 2) + 5y + 6 = 0$

$2y^2 - 4 + 5y + 6 = 0$

$2y^2 + 5y + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) При $y = -2$:

$x + \frac{1}{x} = -2$

Умножим на $x \neq 0$: $x^2 + 1 = -2x \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0$.

Отсюда получаем корень $x_1 = -1$.

2) При $y = -\frac{1}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$

Умножим на $2x \neq 0$: $2x^2 + 2 = -x \implies 2x^2 + x + 2 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 < 0$.

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x = -1$.

б) $3x^4 - 7x^3 + 8x^2 - 7x + 3 = 0$

Это также симметричное уравнение четвертой степени. $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:

$3x^2 - 7x + 8 - \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$3(y^2 - 2) - 7y + 8 = 0$

$3y^2 - 6 - 7y + 8 = 0$

$3y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

$y_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Выполним обратную замену.

1) При $y = \frac{1}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

$3x^2 + 3 = x \implies 3x^2 - x + 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35 < 0$. Действительных корней нет.

2) При $y = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

$x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0$.

Отсюда $x_1 = 1$.

Ответ: $x = 1$.

в) $2x^8 - 3x^6 - x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

Данное уравнение также является симметричным, так как оно содержит только четные степени $x$ и коэффициенты при $x^{2k}$ и $x^{8-2k}$ равны.

$x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^4$ (средняя степень):

$2x^4 - 3x^2 - 1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^4} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2(x^4 + \frac{1}{x^4}) - 3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Возведем в квадрат: $y^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$, откуда $x^4 + \frac{1}{x^4} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$2(y^2 - 2) - 3y - 1 = 0$

$2y^2 - 4 - 3y - 1 = 0$

$2y^2 - 3y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

$y_1 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$y_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Выполним обратную замену. Заметим, что для любого действительного $x \neq 0$, $x^2 > 0$, и по неравенству о средних $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}} = 2$.

1) При $y = -1$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = -1$.

Так как $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) При $y = \frac{5}{2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{5}{2}$

Сделаем еще одну замену $z = x^2$ ($z > 0$):

$z + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}$

$2z^2 + 2 = 5z \implies 2z^2 - 5z + 2 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$z_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$z_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба значения $z$ положительны. Вернемся к $x$:

Если $x^2 = \frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $x^2 = 2$, то $x = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $5x^8 - 4x^6 - 2x^4 - 4x^2 + 5 = 0$

Это симметричное уравнение. $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^4$:

$5x^4 - 4x^2 - 2 - \frac{4}{x^2} + \frac{5}{x^4} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$5(x^4 + \frac{1}{x^4}) - 4(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2 = 0$

Сделаем замену $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$, тогда $x^4 + \frac{1}{x^4} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$5(y^2 - 2) - 4y - 2 = 0$

$5y^2 - 10 - 4y - 2 = 0$

$5y^2 - 4y - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$.

$y_1 = \frac{4 - \sqrt{256}}{10} = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5}$

$y_2 = \frac{4 + \sqrt{256}}{10} = \frac{4 + 16}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Выполним обратную замену.

1) При $y = -\frac{6}{5}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = -\frac{6}{5}$.

Так как $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) При $y = 2$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$

Умножим на $x^2$: $x^4 + 1 = 2x^2 \implies x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \implies (x^2 - 1)^2 = 0$.

Отсюда $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.