Номер 2.49, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.49, страница 69.

Решите уравнение, используя замену неизвестного (2.49—2.50):

2.49* a) $$(x + 100)^2 - 2004 (x + 100) - 2005 = 0;$$

б) $$(x^2 - x)^2 - 3 (x^2 - x) + 2 = 0;$$

в) $$(x^2 - 2x)^2 - 2 (x - 1)^2 - 1 = 0;$$

г) $$(x^2 - 10x)^2 + 8 (x - 5)^2 - 209 = 0;$$

д) $$\left(\frac{3x - 1}{x + 1}\right)^2 - \frac{27x - 9}{x + 1} + 14 = 0;$$

е) $$3 \cdot \left(\frac{2x - 3}{x + 1}\right)^2 - \frac{44x - 66}{x + 1} + 7 = 0;$$

ж) $$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{6x - 6}{x + 1} - 5 = 0;$$

з) $$\frac{28x - 70}{3x + 1} - \frac{21x + 7}{2x - 5} - 47 = 0.$$

а)

Дано уравнение $(x + 100)^2 - 2004(x + 100) - 2005 = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $(x + 100)$. Введем замену переменной: пусть $t = x + 100$.

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$t^2 - 2004t - 2005 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $2004$, а их произведение равно $-2005$. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2005$

$t_2 = -1$

Можно также решить через дискриминант: $D = (-2004)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2005) = 2004^2 + 4 \cdot 2005 = 2004^2 + 4(2004+1) = 2004^2 + 4 \cdot 2004 + 4 = (2004+2)^2 = 2006^2$.

$t = \frac{2004 \pm 2006}{2}$. Отсюда $t_1 = \frac{4010}{2} = 2005$, $t_2 = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $t = 2005$, то $x + 100 = 2005$. Отсюда $x = 2005 - 100 = 1905$.

2) Если $t = -1$, то $x + 100 = -1$. Отсюда $x = -1 - 100 = -101$.

Ответ: $1905; -101$.

б)

Дано уравнение $(x^2 - x)^2 - 3(x^2 - x) + 2 = 0$.

Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - x$.

Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 2$

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 1$, то $x^2 - x = 1$, или $x^2 - x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по формуле корней: $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2) Если $t = 2$, то $x^2 - x = 2$, или $x^2 - x - 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_3 = 2$, $x_4 = -1$.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

в)

Дано уравнение $(x^2 - 2x)^2 - 2(x - 1)^2 - 1 = 0$.

Заметим, что $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда $(x-1)^2 = t + 1$.

Подставим в исходное уравнение:

$t^2 - 2(t + 1) - 1 = 0$

$t^2 - 2t - 2 - 1 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-3$. Корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 3$, то $x^2 - 2x = 3$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

2) Если $t = -1$, то $x^2 - 2x = -1$, или $x^2 - 2x + 1 = 0$. Это полный квадрат: $(x - 1)^2 = 0$, откуда $x_3 = 1$.

Ответ: $-1; 1; 3$.

г)

Дано уравнение $(x^2 - 10x)^2 + 8(x - 5)^2 - 209 = 0$.

Заметим, что $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$.

Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - 10x$. Тогда $(x-5)^2 = t + 25$.

Подставим в исходное уравнение:

$t^2 + 8(t + 25) - 209 = 0$

$t^2 + 8t + 200 - 209 = 0$

$t^2 + 8t - 9 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $-9$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -9$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 1$, то $x^2 - 10x = 1$, или $x^2 - 10x - 1 = 0$.

Найдем корни через дискриминант: $D = (-10)^2 - 4(1)(-1) = 100 + 4 = 104$.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 5 \pm \sqrt{26}$.

2) Если $t = -9$, то $x^2 - 10x = -9$, или $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, $x_3 = 1$, $x_4 = 9$.

Ответ: $1; 9; 5 - \sqrt{26}; 5 + \sqrt{26}$.

д)

Дано уравнение $(\frac{3x - 1}{x + 1})^2 - \frac{27x - 9}{x + 1} + 14 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Преобразуем второй член уравнения: $\frac{27x - 9}{x + 1} = \frac{9(3x - 1)}{x + 1} = 9 \cdot (\frac{3x - 1}{x + 1})$.

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{3x - 1}{x + 1}$.

Уравнение принимает вид: $t^2 - 9t + 14 = 0$.

По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 2$, то $\frac{3x - 1}{x + 1} = 2 \Rightarrow 3x - 1 = 2(x + 1) \Rightarrow 3x - 1 = 2x + 2 \Rightarrow x = 3$.

2) Если $t = 7$, то $\frac{3x - 1}{x + 1} = 7 \Rightarrow 3x - 1 = 7(x + 1) \Rightarrow 3x - 1 = 7x + 7 \Rightarrow -4x = 8 \Rightarrow x = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 3$.

е)

Дано уравнение $3 \cdot (\frac{2x - 3}{x + 1})^2 - \frac{44x - 66}{x + 1} + 7 = 0$.

ОДЗ: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Преобразуем второй член: $\frac{44x - 66}{x + 1} = \frac{22(2x - 3)}{x + 1} = 22 \cdot (\frac{2x - 3}{x + 1})$.

Введем замену: пусть $t = \frac{2x - 3}{x + 1}$.

Уравнение принимает вид: $3t^2 - 22t + 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4(3)(7) = 484 - 84 = 400 = 20^2$.

$t = \frac{22 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm 20}{6}$.

$t_1 = \frac{42}{6} = 7$, $t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 7$, то $\frac{2x - 3}{x + 1} = 7 \Rightarrow 2x - 3 = 7(x+1) \Rightarrow 2x - 3 = 7x + 7 \Rightarrow -5x = 10 \Rightarrow x = -2$.

2) Если $t = \frac{1}{3}$, то $\frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(2x-3) = x+1 \Rightarrow 6x - 9 = x + 1 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 2$.

ж)

Дано уравнение $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{6x - 6}{x + 1} - 5 = 0$.

ОДЗ: $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Преобразуем второй член: $\frac{6x - 6}{x + 1} = \frac{6(x - 1)}{x + 1}$.

Заметим, что дроби $\frac{x + 1}{x - 1}$ и $\frac{x - 1}{x + 1}$ взаимно обратные. Введем замену: пусть $t = \frac{x + 1}{x - 1}$. Тогда $\frac{6(x - 1)}{x + 1} = \frac{6}{t}$.

Уравнение принимает вид: $t + \frac{6}{t} - 5 = 0$.

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq -1$):

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 2$, то $\frac{x + 1}{x - 1} = 2 \Rightarrow x + 1 = 2(x - 1) \Rightarrow x + 1 = 2x - 2 \Rightarrow x = 3$.

2) Если $t = 3$, то $\frac{x + 1}{x - 1} = 3 \Rightarrow x + 1 = 3(x - 1) \Rightarrow x + 1 = 3x - 3 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 3$.

з)

Дано уравнение $\frac{28x - 70}{3x + 1} - \frac{21x + 7}{2x - 5} - 47 = 0$.

ОДЗ: $3x + 1 \neq 0$ и $2x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq -1/3$ и $x \neq 5/2$.

Преобразуем дроби, вынося общие множители:

$\frac{28x - 70}{3x + 1} = \frac{14(2x - 5)}{3x + 1} = 14 \cdot \frac{2x - 5}{3x + 1}$

$\frac{21x + 7}{2x - 5} = \frac{7(3x + 1)}{2x - 5} = 7 \cdot \frac{3x + 1}{2x - 5}$

Заметим, что дроби $\frac{2x - 5}{3x + 1}$ и $\frac{3x + 1}{2x - 5}$ взаимно обратные. Введем замену: пусть $t = \frac{2x - 5}{3x + 1}$.

Уравнение принимает вид: $14t - \frac{7}{t} - 47 = 0$.

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq 5/2$):

$14t^2 - 47t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-47)^2 - 4(14)(-7) = 2209 + 392 = 2601 = 51^2$.

$t = \frac{47 \pm 51}{2 \cdot 14} = \frac{47 \pm 51}{28}$.

$t_1 = \frac{47 + 51}{28} = \frac{98}{28} = \frac{7}{2}$.

$t_2 = \frac{47 - 51}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = \frac{7}{2}$, то $\frac{2x - 5}{3x + 1} = \frac{7}{2} \Rightarrow 2(2x - 5) = 7(3x + 1) \Rightarrow 4x - 10 = 21x + 7 \Rightarrow -17x = 17 \Rightarrow x = -1$.

2) Если $t = -\frac{1}{7}$, то $\frac{2x - 5}{3x + 1} = -\frac{1}{7} \Rightarrow 7(2x - 5) = -1(3x + 1) \Rightarrow 14x - 35 = -3x - 1 \Rightarrow 17x = 34 \Rightarrow x = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 2$.