Номер 2.46, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.46, страница 69.

2.46 a) $(x^2 - 7x + 10)(x^2 - 5x + 6) = 0;$

б) $(x^2 - x - 6)(x^2 + 2x - 15) = 0;$

в) $x^6 - 1 = 0;$

г) $x^8 - 1 = 0.$

а) Уравнение $(x^2 - 7x + 10)(x^2 - 5x + 6) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух квадратных уравнений:
1) $x^2 - 7x + 10 = 0$
2) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим первое уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Решим второе уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_3 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_4 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Объединяя все найденные корни, получаем множество решений исходного уравнения. Обратите внимание, что корень $x=2$ встречается в обоих случаях.
Ответ: $\{2, 3, 5\}$

б) Уравнение $(x^2 - x - 6)(x^2 + 2x - 15) = 0$ также распадается на два квадратных уравнения:
1) $x^2 - x - 6 = 0$
2) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим первое уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Решим второе уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_3 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_4 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Объединяя все уникальные корни, получаем решение.
Ответ: $\{-5, -2, 3\}$

в) Решим уравнение $x^6 - 1 = 0$.
Для нахождения действительных корней можно переписать уравнение как $x^6 = 1$.
Так как показатель степени четный (6), уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt[6]{1} = 1$
$x_2 = -\sqrt[6]{1} = -1$

Альтернативный способ — разложение на множители. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = 0$
Далее используем формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
3) $x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет.
4) $x^2 - x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет.
Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $\{-1, 1\}$

г) Решим уравнение $x^8 - 1 = 0$.
Перепишем уравнение как $x^8 = 1$.
Так как показатель степени четный (8), уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt[8]{1} = 1$
$x_2 = -\sqrt[8]{1} = -1$

Также можно решить разложением на множители, последовательно применяя формулу разности квадратов:
$x^8 - 1 = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0$
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$
Рассмотрим каждый множитель:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
3) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Нет действительных корней.
4) $x^4 + 1 = 0 \implies x^4 = -1$. Нет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.
Таким образом, получаем два действительных корня.
Ответ: $\{-1, 1\}$