Страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.46 a) $(x^2 - 7x + 10)(x^2 - 5x + 6) = 0;$

б) $(x^2 - x - 6)(x^2 + 2x - 15) = 0;$

в) $x^6 - 1 = 0;$

г) $x^8 - 1 = 0.$

а) Уравнение $(x^2 - 7x + 10)(x^2 - 5x + 6) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух квадратных уравнений:
1) $x^2 - 7x + 10 = 0$
2) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим первое уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Решим второе уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_3 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_4 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Объединяя все найденные корни, получаем множество решений исходного уравнения. Обратите внимание, что корень $x=2$ встречается в обоих случаях.
Ответ: $\{2, 3, 5\}$

б) Уравнение $(x^2 - x - 6)(x^2 + 2x - 15) = 0$ также распадается на два квадратных уравнения:
1) $x^2 - x - 6 = 0$
2) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим первое уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Решим второе уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_3 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_4 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Объединяя все уникальные корни, получаем решение.
Ответ: $\{-5, -2, 3\}$

в) Решим уравнение $x^6 - 1 = 0$.
Для нахождения действительных корней можно переписать уравнение как $x^6 = 1$.
Так как показатель степени четный (6), уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt[6]{1} = 1$
$x_2 = -\sqrt[6]{1} = -1$

Альтернативный способ — разложение на множители. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = 0$
Далее используем формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
3) $x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет.
4) $x^2 - x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет.
Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $\{-1, 1\}$

г) Решим уравнение $x^8 - 1 = 0$.
Перепишем уравнение как $x^8 = 1$.
Так как показатель степени четный (8), уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt[8]{1} = 1$
$x_2 = -\sqrt[8]{1} = -1$

Также можно решить разложением на множители, последовательно применяя формулу разности квадратов:
$x^8 - 1 = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0$
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$
Рассмотрим каждый множитель:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
3) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Нет действительных корней.
4) $x^4 + 1 = 0 \implies x^4 = -1$. Нет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.
Таким образом, получаем два действительных корня.
Ответ: $\{-1, 1\}$

2.47 а) $ \frac{x^2 - 5x}{2x + 1} = 0; $

б) $ \frac{x^2 + 4x}{2x + x^2} = 0; $

в) $ \frac{x^2 - 5x}{2x - 6} = 1; $

г) $ \frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} = -1. $

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - 5x}{2x + 1} = 0$.
Дробное рациональное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 5x = 0 \\ 2x + 1 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$.
Теперь решим неравенство из системы (проверим область допустимых значений):
$2x + 1 \neq 0$
$2x \neq -1$
$x \neq -0.5$
Оба найденных корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$, удовлетворяют условию $x \neq -0.5$. Следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $0; 5$.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 + 4x}{2x + x^2} = 0$.
Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$\begin{cases} x^2 + 4x = 0 \\ 2x + x^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 + 4x = 0$
$x(x + 4) = 0$
$x_1 = 0$ или $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.
Проверим область допустимых значений:
$2x + x^2 \neq 0$
$x(2 + x) \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Сравним найденные корни с ограничениями. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $-4$.

в) Дано уравнение $\frac{x^2 - 5x}{2x - 6} = 1$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$2x - 6 \neq 0$
$2x \neq 6$
$x \neq 3$.
Теперь решим уравнение. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 5x}{2x - 6} - 1 = 0$
$\frac{x^2 - 5x - (2x - 6)}{2x - 6} = 0$
$\frac{x^2 - 5x - 2x + 6}{2x - 6} = 0$
$\frac{x^2 - 7x + 6}{2x - 6} = 0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель, как мы уже определили, не равен нулю).
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).
Ответ: $1; 6$.

г) Дано уравнение $\frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} = -1$.
Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 9 \neq 0$
$x \neq -9$.
Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} + 1 = 0$
$\frac{x^2 + 17x + 72 + (x + 9)}{x + 9} = 0$
$\frac{x^2 + 18x + 81}{x + 9} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 18x + 81 = 0$
Заметим, что левая часть является полным квадратом суммы:
$(x + 9)^2 = 0$
$x + 9 = 0$
$x = -9$
Однако, согласно ОДЗ, $x \neq -9$. Найденный корень является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.

2.48 a) $ \frac{60}{20+x} + \frac{60}{20-x} = \frac{25}{4}; $

б) $ \frac{1}{5-x} + \frac{90}{25-x^2} = \frac{4-x}{5+x}; $

В) $ \frac{3}{x^2-2x+1} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{x+1}; $

Г) $ \frac{2}{x^2+12x+36} - \frac{12}{36-x^2} = \frac{1}{x-6}. $

а) $\frac{60}{20 + x} + \frac{60}{20 - x} = \frac{25}{4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $20 + x \neq 0$ и $20 - x \neq 0$. Отсюда $x \neq -20$ и $x \neq 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(20 + x)(20 - x) = 400 - x^2$:

$\frac{60(20 - x) + 60(20 + x)}{(20 + x)(20 - x)} = \frac{25}{4}$

$\frac{1200 - 60x + 1200 + 60x}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

$\frac{2400}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$2400 \cdot 4 = 25 \cdot (400 - x^2)$

$9600 = 10000 - 25x^2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$25x^2 = 10000 - 9600$

$25x^2 = 400$

$x^2 = \frac{400}{25}$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 20$).

Ответ: $4; -4$.

б) $\frac{1}{5 - x} + \frac{90}{25 - x^2} = \frac{4 - x}{5 + x}$

ОДЗ: $5 - x \neq 0 \implies x \neq 5$; $5 + x \neq 0 \implies x \neq -5$; $25 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 5$.

Разложим знаменатель $25 - x^2$ на множители: $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$. Общий знаменатель для всех дробей — $(5 - x)(5 + x)$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(5 - x)(5 + x)$:

$1 \cdot (5 + x) + 90 = (4 - x)(5 - x)$

Раскроем скобки и упростим:

$5 + x + 90 = 20 - 4x - 5x + x^2$

$x + 95 = x^2 - 9x + 20$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - x + 20 - 95 = 0$

$x^2 - 10x - 75 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(1)(-75) = 100 + 300 = 400$. $\sqrt{D} = 20$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 20}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 5$. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как обращает знаменатель в ноль, и является посторонним корнем.

Ответ: $15$.

в) $\frac{3}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1}$

ОДЗ: $x^2 - 2x + 1 \neq 0 \implies (x-1)^2 \neq 0 \implies x \neq 1$; $1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$; $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Итого, $x \neq \pm 1$.

Преобразуем знаменатели: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$; $1 - x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Общий знаменатель: $(x-1)^2(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x + 1) - 2(x - 1) = 1(x - 1)^2$

$3x + 3 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1$

$x + 5 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 1$. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $4$.

г) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$

ОДЗ: $x^2 + 12x + 36 \neq 0 \implies (x+6)^2 \neq 0 \implies x \neq -6$; $36 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 6$; $x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$. Итого, $x \neq \pm 6$.

Преобразуем знаменатели: $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$; $36 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{(x + 6)^2} - \frac{12}{-(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$

$\frac{2}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$

Общий знаменатель: $(x+6)^2(x-6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x - 6) + 12(x + 6) = 1(x + 6)^2$

$2x - 12 + 12x + 72 = x^2 + 12x + 36$

$14x + 60 = x^2 + 12x + 36$

$x^2 + 12x - 14x + 36 - 60 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -24. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 6$.

Ответ: $-4$.

Решите уравнение, используя замену неизвестного (2.49—2.50):

2.49* a) $$(x + 100)^2 - 2004 (x + 100) - 2005 = 0;$$

б) $$(x^2 - x)^2 - 3 (x^2 - x) + 2 = 0;$$

в) $$(x^2 - 2x)^2 - 2 (x - 1)^2 - 1 = 0;$$

г) $$(x^2 - 10x)^2 + 8 (x - 5)^2 - 209 = 0;$$

д) $$\left(\frac{3x - 1}{x + 1}\right)^2 - \frac{27x - 9}{x + 1} + 14 = 0;$$

е) $$3 \cdot \left(\frac{2x - 3}{x + 1}\right)^2 - \frac{44x - 66}{x + 1} + 7 = 0;$$

ж) $$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{6x - 6}{x + 1} - 5 = 0;$$

з) $$\frac{28x - 70}{3x + 1} - \frac{21x + 7}{2x - 5} - 47 = 0.$$

а)

Дано уравнение $(x + 100)^2 - 2004(x + 100) - 2005 = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $(x + 100)$. Введем замену переменной: пусть $t = x + 100$.

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$t^2 - 2004t - 2005 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $2004$, а их произведение равно $-2005$. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2005$

$t_2 = -1$

Можно также решить через дискриминант: $D = (-2004)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2005) = 2004^2 + 4 \cdot 2005 = 2004^2 + 4(2004+1) = 2004^2 + 4 \cdot 2004 + 4 = (2004+2)^2 = 2006^2$.

$t = \frac{2004 \pm 2006}{2}$. Отсюда $t_1 = \frac{4010}{2} = 2005$, $t_2 = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $t = 2005$, то $x + 100 = 2005$. Отсюда $x = 2005 - 100 = 1905$.

2) Если $t = -1$, то $x + 100 = -1$. Отсюда $x = -1 - 100 = -101$.

Ответ: $1905; -101$.

б)

Дано уравнение $(x^2 - x)^2 - 3(x^2 - x) + 2 = 0$.

Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - x$.

Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 2$

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 1$, то $x^2 - x = 1$, или $x^2 - x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по формуле корней: $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2) Если $t = 2$, то $x^2 - x = 2$, или $x^2 - x - 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_3 = 2$, $x_4 = -1$.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

в)

Дано уравнение $(x^2 - 2x)^2 - 2(x - 1)^2 - 1 = 0$.

Заметим, что $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда $(x-1)^2 = t + 1$.

Подставим в исходное уравнение:

$t^2 - 2(t + 1) - 1 = 0$

$t^2 - 2t - 2 - 1 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-3$. Корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 3$, то $x^2 - 2x = 3$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

2) Если $t = -1$, то $x^2 - 2x = -1$, или $x^2 - 2x + 1 = 0$. Это полный квадрат: $(x - 1)^2 = 0$, откуда $x_3 = 1$.

Ответ: $-1; 1; 3$.

г)

Дано уравнение $(x^2 - 10x)^2 + 8(x - 5)^2 - 209 = 0$.

Заметим, что $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$.

Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - 10x$. Тогда $(x-5)^2 = t + 25$.

Подставим в исходное уравнение:

$t^2 + 8(t + 25) - 209 = 0$

$t^2 + 8t + 200 - 209 = 0$

$t^2 + 8t - 9 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $-9$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -9$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 1$, то $x^2 - 10x = 1$, или $x^2 - 10x - 1 = 0$.

Найдем корни через дискриминант: $D = (-10)^2 - 4(1)(-1) = 100 + 4 = 104$.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 5 \pm \sqrt{26}$.

2) Если $t = -9$, то $x^2 - 10x = -9$, или $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, $x_3 = 1$, $x_4 = 9$.

Ответ: $1; 9; 5 - \sqrt{26}; 5 + \sqrt{26}$.

д)

Дано уравнение $(\frac{3x - 1}{x + 1})^2 - \frac{27x - 9}{x + 1} + 14 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Преобразуем второй член уравнения: $\frac{27x - 9}{x + 1} = \frac{9(3x - 1)}{x + 1} = 9 \cdot (\frac{3x - 1}{x + 1})$.

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{3x - 1}{x + 1}$.

Уравнение принимает вид: $t^2 - 9t + 14 = 0$.

По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 2$, то $\frac{3x - 1}{x + 1} = 2 \Rightarrow 3x - 1 = 2(x + 1) \Rightarrow 3x - 1 = 2x + 2 \Rightarrow x = 3$.

2) Если $t = 7$, то $\frac{3x - 1}{x + 1} = 7 \Rightarrow 3x - 1 = 7(x + 1) \Rightarrow 3x - 1 = 7x + 7 \Rightarrow -4x = 8 \Rightarrow x = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 3$.

е)

Дано уравнение $3 \cdot (\frac{2x - 3}{x + 1})^2 - \frac{44x - 66}{x + 1} + 7 = 0$.

ОДЗ: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Преобразуем второй член: $\frac{44x - 66}{x + 1} = \frac{22(2x - 3)}{x + 1} = 22 \cdot (\frac{2x - 3}{x + 1})$.

Введем замену: пусть $t = \frac{2x - 3}{x + 1}$.

Уравнение принимает вид: $3t^2 - 22t + 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4(3)(7) = 484 - 84 = 400 = 20^2$.

$t = \frac{22 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm 20}{6}$.

$t_1 = \frac{42}{6} = 7$, $t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 7$, то $\frac{2x - 3}{x + 1} = 7 \Rightarrow 2x - 3 = 7(x+1) \Rightarrow 2x - 3 = 7x + 7 \Rightarrow -5x = 10 \Rightarrow x = -2$.

2) Если $t = \frac{1}{3}$, то $\frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(2x-3) = x+1 \Rightarrow 6x - 9 = x + 1 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 2$.

ж)

Дано уравнение $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{6x - 6}{x + 1} - 5 = 0$.

ОДЗ: $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Преобразуем второй член: $\frac{6x - 6}{x + 1} = \frac{6(x - 1)}{x + 1}$.

Заметим, что дроби $\frac{x + 1}{x - 1}$ и $\frac{x - 1}{x + 1}$ взаимно обратные. Введем замену: пусть $t = \frac{x + 1}{x - 1}$. Тогда $\frac{6(x - 1)}{x + 1} = \frac{6}{t}$.

Уравнение принимает вид: $t + \frac{6}{t} - 5 = 0$.

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq -1$):

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = 2$, то $\frac{x + 1}{x - 1} = 2 \Rightarrow x + 1 = 2(x - 1) \Rightarrow x + 1 = 2x - 2 \Rightarrow x = 3$.

2) Если $t = 3$, то $\frac{x + 1}{x - 1} = 3 \Rightarrow x + 1 = 3(x - 1) \Rightarrow x + 1 = 3x - 3 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 3$.

з)

Дано уравнение $\frac{28x - 70}{3x + 1} - \frac{21x + 7}{2x - 5} - 47 = 0$.

ОДЗ: $3x + 1 \neq 0$ и $2x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq -1/3$ и $x \neq 5/2$.

Преобразуем дроби, вынося общие множители:

$\frac{28x - 70}{3x + 1} = \frac{14(2x - 5)}{3x + 1} = 14 \cdot \frac{2x - 5}{3x + 1}$

$\frac{21x + 7}{2x - 5} = \frac{7(3x + 1)}{2x - 5} = 7 \cdot \frac{3x + 1}{2x - 5}$

Заметим, что дроби $\frac{2x - 5}{3x + 1}$ и $\frac{3x + 1}{2x - 5}$ взаимно обратные. Введем замену: пусть $t = \frac{2x - 5}{3x + 1}$.

Уравнение принимает вид: $14t - \frac{7}{t} - 47 = 0$.

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq 5/2$):

$14t^2 - 47t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-47)^2 - 4(14)(-7) = 2209 + 392 = 2601 = 51^2$.

$t = \frac{47 \pm 51}{2 \cdot 14} = \frac{47 \pm 51}{28}$.

$t_1 = \frac{47 + 51}{28} = \frac{98}{28} = \frac{7}{2}$.

$t_2 = \frac{47 - 51}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$.

Выполним обратную замену.

1) Если $t = \frac{7}{2}$, то $\frac{2x - 5}{3x + 1} = \frac{7}{2} \Rightarrow 2(2x - 5) = 7(3x + 1) \Rightarrow 4x - 10 = 21x + 7 \Rightarrow -17x = 17 \Rightarrow x = -1$.

2) Если $t = -\frac{1}{7}$, то $\frac{2x - 5}{3x + 1} = -\frac{1}{7} \Rightarrow 7(2x - 5) = -1(3x + 1) \Rightarrow 14x - 35 = -3x - 1 \Rightarrow 17x = 34 \Rightarrow x = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 2$.

2.50* a) $2x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 5x + 2 = 0;$

б) $3x^4 - 7x^3 + 8x^2 - 7x + 3 = 0;$

В) $2x^8 - 3x^6 - x^4 - 3x^2 + 2 = 0;$

Г) $5x^8 - 4x^6 - 2x^4 - 4x^2 + 1 = 0.$

а) $2x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 5x + 2 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны (2 и 2, 5 и 5).

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как свободный член $2 \neq 0$. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $x^2 \neq 0$:

$2x^2 + 5x + 6 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(2x^2 + \frac{2}{x^2}) + (5x + \frac{5}{x}) + 6 = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения для замены в преобразованное уравнение:

$2(y^2 - 2) + 5y + 6 = 0$

$2y^2 - 4 + 5y + 6 = 0$

$2y^2 + 5y + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) При $y = -2$:

$x + \frac{1}{x} = -2$

Умножим на $x \neq 0$: $x^2 + 1 = -2x \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0$.

Отсюда получаем корень $x_1 = -1$.

2) При $y = -\frac{1}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$

Умножим на $2x \neq 0$: $2x^2 + 2 = -x \implies 2x^2 + x + 2 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 < 0$.

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x = -1$.

б) $3x^4 - 7x^3 + 8x^2 - 7x + 3 = 0$

Это также симметричное уравнение четвертой степени. $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:

$3x^2 - 7x + 8 - \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$3(y^2 - 2) - 7y + 8 = 0$

$3y^2 - 6 - 7y + 8 = 0$

$3y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

$y_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Выполним обратную замену.

1) При $y = \frac{1}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

$3x^2 + 3 = x \implies 3x^2 - x + 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35 < 0$. Действительных корней нет.

2) При $y = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

$x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0$.

Отсюда $x_1 = 1$.

Ответ: $x = 1$.

в) $2x^8 - 3x^6 - x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

Данное уравнение также является симметричным, так как оно содержит только четные степени $x$ и коэффициенты при $x^{2k}$ и $x^{8-2k}$ равны.

$x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^4$ (средняя степень):

$2x^4 - 3x^2 - 1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^4} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2(x^4 + \frac{1}{x^4}) - 3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Возведем в квадрат: $y^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$, откуда $x^4 + \frac{1}{x^4} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$2(y^2 - 2) - 3y - 1 = 0$

$2y^2 - 4 - 3y - 1 = 0$

$2y^2 - 3y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

$y_1 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$y_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Выполним обратную замену. Заметим, что для любого действительного $x \neq 0$, $x^2 > 0$, и по неравенству о средних $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}} = 2$.

1) При $y = -1$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = -1$.

Так как $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) При $y = \frac{5}{2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{5}{2}$

Сделаем еще одну замену $z = x^2$ ($z > 0$):

$z + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}$

$2z^2 + 2 = 5z \implies 2z^2 - 5z + 2 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$z_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$z_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба значения $z$ положительны. Вернемся к $x$:

Если $x^2 = \frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $x^2 = 2$, то $x = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $5x^8 - 4x^6 - 2x^4 - 4x^2 + 5 = 0$

Это симметричное уравнение. $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^4$:

$5x^4 - 4x^2 - 2 - \frac{4}{x^2} + \frac{5}{x^4} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$5(x^4 + \frac{1}{x^4}) - 4(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2 = 0$

Сделаем замену $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$, тогда $x^4 + \frac{1}{x^4} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$5(y^2 - 2) - 4y - 2 = 0$

$5y^2 - 10 - 4y - 2 = 0$

$5y^2 - 4y - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$.

$y_1 = \frac{4 - \sqrt{256}}{10} = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5}$

$y_2 = \frac{4 + \sqrt{256}}{10} = \frac{4 + 16}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Выполним обратную замену.

1) При $y = -\frac{6}{5}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = -\frac{6}{5}$.

Так как $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) При $y = 2$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$

Умножим на $x^2$: $x^4 + 1 = 2x^2 \implies x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \implies (x^2 - 1)^2 = 0$.

Отсюда $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

Из сборника задач П. А. Ларичева. Решите уравнение (2.51–2.52):

2.51

а) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 2\frac{2}{3};$

б) $\frac{x}{x+4} + \frac{x}{x-4} = 5\frac{5}{9};$

В) $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3};$

Г) $\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3}.$

a)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 2\frac{2}{3}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$ и $x \neq 1$.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2-1$:

$\frac{x(x-1) + x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{8}{3}$

Упростим числитель:

$\frac{x^2 - x + x^2 + x}{x^2 - 1} = \frac{8}{3}$

$\frac{2x^2}{x^2 - 1} = \frac{8}{3}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции:

$3 \cdot (2x^2) = 8 \cdot (x^2 - 1)$

$6x^2 = 8x^2 - 8$

$8x^2 - 6x^2 = 8$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни: $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm1$).

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+4} + \frac{x}{x-4} = 5\frac{5}{9}$.

ОДЗ: $x+4 \neq 0$ и $x-4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$ и $x \neq 4$.

Преобразуем смешанную дробь: $5\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{50}{9}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2-16$:

$\frac{x(x-4) + x(x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{50}{9}$

$\frac{x^2 - 4x + x^2 + 4x}{x^2 - 16} = \frac{50}{9}$

$\frac{2x^2}{x^2 - 16} = \frac{50}{9}$

Решим уравнение с помощью пропорции:

$9 \cdot (2x^2) = 50 \cdot (x^2 - 16)$

$18x^2 = 50x^2 - 800$

$50x^2 - 18x^2 = 800$

$32x^2 = 800$

$x^2 = \frac{800}{32} = 25$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt{25}$, то есть $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm4$).

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3}$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Преобразуем смешанную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-3)(x+3) = x^2-9$:

$\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3}$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9)}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$.

$\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$

Решим уравнение с помощью пропорции:

$3 \cdot (2x^2 + 18) = 10 \cdot (x^2 - 9)$

$6x^2 + 54 = 10x^2 - 90$

$10x^2 - 6x^2 = 54 + 90$

$4x^2 = 144$

$x^2 = 36$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt{36}$, то есть $x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm3$).

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -6$.

г)

Исходное уравнение: $\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3}$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Преобразуем смешанную дробь: $8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-2)(x+2) = x^2-4$:

$\frac{(5x+7)(x+2) - (2x+21)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{26}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(5x^2 + 10x + 7x + 14) - (2x^2 - 4x + 21x - 42)}{x^2-4} = \frac{26}{3}$

$\frac{5x^2 + 17x + 14 - 2x^2 - 17x + 42}{x^2-4} = \frac{26}{3}$

$\frac{3x^2 + 56}{x^2 - 4} = \frac{26}{3}$

Решим уравнение с помощью пропорции:

$3 \cdot (3x^2 + 56) = 26 \cdot (x^2 - 4)$

$9x^2 + 168 = 26x^2 - 104$

$26x^2 - 9x^2 = 168 + 104$

$17x^2 = 272$

$x^2 = \frac{272}{17} = 16$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm2$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

2.52* a) $ \frac{x}{x+a} + \frac{x}{x-a} = 2\frac{2}{3}; $

б) $ \frac{x}{a} + \frac{1}{ax-bx} + \frac{b}{a^2x-abx} = \frac{2}{a-b}; $

В) $ \frac{2x}{x-b} + \frac{12x^2}{b^2-x^2} = \frac{b-x}{x+b}; $

Г) $ \frac{x+a}{x-a} + \frac{x-a}{x+a} = \frac{a(3x+2a)}{x^2-a^2}, $

где a и b — данные числа.

а) $\frac{x}{x+a} + \frac{x}{x-a} = 2\frac{2}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x+a \neq 0$ и $x-a \neq 0$, что означает $x \neq \pm a$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$:
$\frac{x(x-a) + x(x+a)}{(x+a)(x-a)} = \frac{8}{3}$
$\frac{x^2 - ax + x^2 + ax}{x^2 - a^2} = \frac{8}{3}$
$\frac{2x^2}{x^2 - a^2} = \frac{8}{3}$

Теперь решим полученную пропорцию, используя перекрестное умножение:
$3 \cdot (2x^2) = 8 \cdot (x^2 - a^2)$
$6x^2 = 8x^2 - 8a^2$
$8a^2 = 8x^2 - 6x^2$
$8a^2 = 2x^2$
$x^2 = 4a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = \pm \sqrt{4a^2}$
$x = \pm 2a$

Полученные корни $x_1 = 2a$ и $x_2 = -2a$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm a$), если $a \neq 0$. Если $a = 0$, исходное уравнение теряет смысл.

Ответ: при $a \neq 0$ $x_1 = 2a, x_2 = -2a$; при $a=0$ решений нет.

б) $\frac{x}{a} + \frac{1}{ax-bx} + \frac{b}{a^2x-abx} = \frac{2}{a-b}$

ОДЗ: $a \neq 0$, $ax-bx \neq 0 \Rightarrow x(a-b) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, a \neq b$.

Разложим знаменатели на множители: $ax-bx = x(a-b)$ и $a^2x-abx = ax(a-b)$. Уравнение принимает вид:
$\frac{x}{a} + \frac{1}{x(a-b)} + \frac{b}{ax(a-b)} = \frac{2}{a-b}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $ax(a-b)$:
$\frac{x \cdot x(a-b) + 1 \cdot a + b}{ax(a-b)} = \frac{2}{a-b}$
$\frac{x^2(a-b) + a + b}{ax(a-b)} = \frac{2}{a-b}$

Умножим обе части на $ax(a-b)$ (учитывая ОДЗ, это выражение не равно нулю):
$x^2(a-b) + a + b = \frac{2 \cdot ax(a-b)}{a-b}$
$x^2(a-b) + a + b = 2ax$

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $x$:
$(a-b)x^2 - 2ax + (a+b) = 0$

Найдем дискриминант $D$:
$D = (-2a)^2 - 4(a-b)(a+b) = 4a^2 - 4(a^2-b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2 = (2b)^2$

Найдем корни уравнения:
$x = \frac{2a \pm \sqrt{(2b)^2}}{2(a-b)} = \frac{2a \pm 2b}{2(a-b)} = \frac{a \pm b}{a-b}$

Отсюда получаем два корня:
$x_1 = \frac{a+b}{a-b}$
$x_2 = \frac{a-b}{a-b} = 1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$). Корень $x_2=1$ всегда удовлетворяет этому условию. Корень $x_1$ равен нулю, если $a+b=0$, то есть $a=-b$. В этом случае корень $x_1=0$ не подходит.

Ответ: если $a \neq 0, a \neq b, a \neq -b$, то $x_1 = \frac{a+b}{a-b}, x_2=1$; если $a=-b$ (и $b \neq 0$), то $x=1$.

в) $\frac{2x}{x-b} + \frac{12x^2}{b^2-x^2} = \frac{b-x}{x+b}$

ОДЗ: $x-b \neq 0 \Rightarrow x \neq b$; $x+b \neq 0 \Rightarrow x \neq -b$; $b^2-x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm b$.

Преобразуем знаменатель второй дроби и числитель правой части: $b^2-x^2 = -(x^2-b^2) = -(x-b)(x+b)$ и $b-x = -(x-b)$.
$\frac{2x}{x-b} - \frac{12x^2}{(x-b)(x+b)} = \frac{-(x-b)}{x+b}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-b)(x+b)$:
$\frac{2x(x+b)}{(x-b)(x+b)} - \frac{12x^2}{(x-b)(x+b)} + \frac{(x-b)(x-b)}{(x-b)(x+b)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:
$2x(x+b) - 12x^2 + (x-b)^2 = 0$
$2x^2 + 2bx - 12x^2 + x^2 - 2bx + b^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$(2-12+1)x^2 + (2b-2b)x + b^2 = 0$
$-9x^2 + b^2 = 0$
$9x^2 = b^2$
$x^2 = \frac{b^2}{9}$

Извлекая корень, получаем:
$x = \pm \frac{b}{3}$

Если $b \neq 0$, то $x = \pm \frac{b}{3}$ не совпадает с $\pm b$, следовательно, корни удовлетворяют ОДЗ. Если $b=0$, то ОДЗ: $x \neq 0$, а уравнение дает корень $x=0$, который не подходит.

Ответ: при $b \neq 0$ $x_1 = \frac{b}{3}, x_2 = -\frac{b}{3}$; при $b=0$ решений нет.

г) $\frac{x+a}{x-a} + \frac{x-a}{x+a} = \frac{a(3x+2a)}{x^2-a^2}$

ОДЗ: $x-a \neq 0 \Rightarrow x \neq a$; $x+a \neq 0 \Rightarrow x \neq -a$.

Общий знаменатель для всех дробей — $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель (при $x \neq \pm a$):
$(x+a)(x+a) + (x-a)(x-a) = a(3x+2a)$
$(x+a)^2 + (x-a)^2 = a(3x+2a)$

Раскроем скобки. Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 2ax + a^2) + (x^2 - 2ax + a^2) = 3ax + 2a^2$

Упростим левую часть:
$2x^2 + 2a^2 = 3ax + 2a^2$

Вычтем $2a^2$ из обеих частей:
$2x^2 = 3ax$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$2x^2 - 3ax = 0$
$x(2x - 3a) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $2x - 3a = 0 \Rightarrow 2x = 3a \Rightarrow x = \frac{3a}{2}$

Проверим корни. Если $a \neq 0$, то $x_1=0$ и $x_2=\frac{3a}{2}$ не совпадают с $\pm a$ и являются решениями. Если $a=0$, то ОДЗ $x \neq 0$, а уравнение принимает вид $1+1=0$, что неверно, следовательно, решений нет.

Ответ: при $a \neq 0$ $x_1 = 0, x_2 = \frac{3a}{2}$; при $a=0$ решений нет.