Номер 2.44, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.6. Рациональные уравнения - номер 2.44, страница 68.

Условие.

2.44° а) Какое уравнение называют рациональным уравнением с неизвестным $x$?

б) Что называют корнем уравнения с неизвестным $x$?

в) Что значит решить уравнение?

г) Как решают распадающиеся уравнения?

д) Как решают уравнения вида $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$, где $A(x)$ и $B(x)$ – многочлены относительно $x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рациональным уравнением с неизвестным $x$ называют уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ являются рациональными выражениями. Рациональное выражение — это выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены относительно $x$, причём $Q(x)$ не является тождественно равным нулю. Любое рациональное уравнение может быть приведено к виду, где в правой части стоит ноль.
Ответ:

б) Корнем (или решением) уравнения с неизвестным $x$ называют такое значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Это значение должно принадлежать области допустимых значений (ОДЗ) уравнения, то есть множеству значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.
Ответ:

в) Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней. Совокупность всех корней уравнения называется его решением.
Ответ:

г) Распадающимся уравнением называют уравнение, которое можно представить в виде произведения нескольких множителей, равного нулю: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x) = 0$. Такое уравнение решают на основе свойства: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены (имеют смысл). Таким образом, решение исходного уравнения эквивалентно решению совокупности уравнений: $f_1(x) = 0$, $f_2(x) = 0$, ..., $f_n(x) = 0$. Объединение множеств корней этих уравнений, после проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения, и составляет его решение.
Ответ:

д) Уравнение вида $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$, где $A(x)$ и $B(x)$ — многочлены относительно $x$, решают по следующему правилу: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это правило можно записать в виде равносильной системы: $$ \begin{cases} A(x) = 0, \\ B(x) \neq 0. \end{cases} $$ Таким образом, алгоритм решения следующий:
1. Найти все корни уравнения $A(x) = 0$.
2. Для каждого найденного корня проверить, не обращается ли при этом значении $x$ в ноль знаменатель $B(x)$.
3. В ответ записать только те корни числителя, которые не обращают в ноль знаменатель.
Ответ: