Номер 2.21, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.21, страница 53.

2.21 Найдите средний член разложения по формуле бинома Ньютона:

а) $(a + 3)^6$;

б) $(3a - 4x)^8$;

в) $(5 + 2x)^{14}$.

Формула для $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона $(x+y)^n$ имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент. Разложение бинома $(x+y)^n$ содержит $n+1$ член. Если показатель степени $n$ — четное число, как во всех представленных случаях, то разложение имеет один средний член. Номер этого члена $m = \frac{n}{2} + 1$. Следовательно, для нахождения среднего члена нужно подставить $k = \frac{n}{2}$ в общую формулу члена разложения: $T_{\frac{n}{2}+1} = C_n^{n/2} x^{n-n/2} y^{n/2} = C_n^{n/2} x^{n/2} y^{n/2}$.

а) Для разложения $(a+3)^6$ имеем: первый член $x = a$, второй член $y = 3$ и показатель степени $n = 6$.

Поскольку $n=6$ — четное число, разложение имеет один средний член. Его номер $m = \frac{6}{2} + 1 = 4$.

Для нахождения 4-го члена ($T_4$) используем формулу $T_{k+1}$ при $k=3$:$T_4 = T_{3+1} = C_6^3 a^{6-3} 3^3$.

Вычислим биномиальный коэффициент:$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Подставим все значения в формулу:$T_4 = 20 \cdot a^3 \cdot 3^3 = 20 \cdot a^3 \cdot 27 = 540a^3$.

Ответ: $540a^3$.

б) Для разложения $(3a - 4x)^8$ имеем: первый член $x = 3a$, второй член $y = -4x$ и показатель степени $n = 8$.

Поскольку $n=8$ — четное число, разложение имеет один средний член. Его номер $m = \frac{8}{2} + 1 = 5$.

Для нахождения 5-го члена ($T_5$) используем формулу $T_{k+1}$ при $k=4$:$T_5 = T_{4+1} = C_8^4 (3a)^{8-4} (-4x)^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент:$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Вычислим степени:$(3a)^4 = 3^4 a^4 = 81a^4$.$(-4x)^4 = (-4)^4 x^4 = 256x^4$.

Подставим все значения в формулу:$T_5 = 70 \cdot (81a^4) \cdot (256x^4) = (70 \cdot 81 \cdot 256) a^4 x^4 = 1451520 a^4 x^4$.

Ответ: $1451520a^4x^4$.

в) Для разложения $(5 + 2x)^{14}$ имеем: первый член $x = 5$, второй член $y = 2x$ и показатель степени $n = 14$.

Поскольку $n=14$ — четное число, разложение имеет один средний член. Его номер $m = \frac{14}{2} + 1 = 8$.

Для нахождения 8-го члена ($T_8$) используем формулу $T_{k+1}$ при $k=7$:$T_8 = T_{7+1} = C_{14}^7 (5)^{14-7} (2x)^7 = C_{14}^7 5^7 (2x)^7$.

Вычислим биномиальный коэффициент:$C_{14}^7 = \frac{14!}{7!(14-7)!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3432$.

Подставим значения в формулу:$T_8 = 3432 \cdot 5^7 \cdot (2x)^7 = 3432 \cdot 5^7 \cdot 2^7 \cdot x^7$.

Сгруппируем степени с одинаковым показателем:$T_8 = 3432 \cdot (5 \cdot 2)^7 \cdot x^7 = 3432 \cdot 10^7 \cdot x^7 = 34320000000x^7$.

Ответ: $3432 \cdot 10^7 x^7$.