Номер 1.53, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.53, страница 24.

1.53 Вычислите:

а) $P_{10} : P_9$;

б) $P_{12} : P_{10}$

В данной задаче $P_n$ обозначает число перестановок из $n$ элементов. Число перестановок вычисляется по формуле n-факториала:
$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.
Для решения будем использовать основное свойство факториала: $n! = (n-1)! \cdot n$.

a) $P_{10} : P_9$

Нам необходимо вычислить частное от деления числа перестановок из 10 элементов на число перестановок из 9 элементов.
Запишем это отношение, используя формулу для числа перестановок:
$P_{10} : P_9 = \frac{P_{10}}{P_9} = \frac{10!}{9!}$
Теперь представим числитель $10!$ через $9!$, используя свойство факториала:
$10! = 9! \cdot 10$
Подставим это выражение в нашу дробь и выполним сокращение:
$\frac{10!}{9!} = \frac{9! \cdot 10}{9!} = 10$
Ответ: 10

б) $P_{12} : P_{10}$

Аналогично предыдущему пункту, вычислим частное от деления $P_{12}$ на $P_{10}$.
Запишем отношение в виде дроби с факториалами:
$P_{12} : P_{10} = \frac{P_{12}}{P_{10}} = \frac{12!}{10!}$
Представим $12!$ через $10!$:
$12! = 10! \cdot 11 \cdot 12$
Подставим это выражение в дробь и сократим общие множители:
$\frac{12!}{10!} = \frac{10! \cdot 11 \cdot 12}{10!} = 11 \cdot 12$
Вычислим произведение:
$11 \cdot 12 = 132$
Ответ: 132