Страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.57 Выпишите все размещения из четырёх элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ по два. Чему равно $A_4^2$?

Выпишите все размещения из четырёх элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ по два.
Размещением называется упорядоченный набор элементов. В данном случае необходимо составить все возможные упорядоченные пары из 4-х различных элементов. Порядок элементов в паре имеет значение, т.е. $(x_1, x_2)$ и $(x_2, x_1)$ являются разными размещениями.
Выпишем все размещения, систематически перебирая варианты для первого и второго элементов:
Пары, начинающиеся с $x_1$: $(x_1, x_2), (x_1, x_3), (x_1, x_4)$.
Пары, начинающиеся с $x_2$: $(x_2, x_1), (x_2, x_3), (x_2, x_4)$.
Пары, начинающиеся с $x_3$: $(x_3, x_1), (x_3, x_2), (x_3, x_4)$.
Пары, начинающиеся с $x_4$: $(x_4, x_1), (x_4, x_2), (x_4, x_3)$.
Ответ: $(x_1, x_2), (x_1, x_3), (x_1, x_4), (x_2, x_1), (x_2, x_3), (x_2, x_4), (x_3, x_1), (x_3, x_2), (x_3, x_4), (x_4, x_1), (x_4, x_2), (x_4, x_3)$.

Чему равно $A_4^2$?
Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче общее число элементов $n=4$, а количество элементов в каждом размещении $k=2$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 4 \cdot 3 = 12$.
Это число равно количеству размещений, перечисленных в первой части ответа.
Ответ: 12.

1.58 Вычислите:

а) $A_4^3$; б) $A_5^2$; в) $A_5^3$; г) $A_7^4$; д) $A_7^5$; е) $A_8^1$.

Докажите, что $A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$.

Для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$ используется формула $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

а) Вычислим $A_4^3$. Здесь $n=4, k=3$.
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 24$.
Ответ: 24.

б) Вычислим $A_5^2$. Здесь $n=5, k=2$.
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

в) Вычислим $A_5^3$. Здесь $n=5, k=3$.
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
Ответ: 60.

г) Вычислим $A_7^4$. Здесь $n=7, k=4$.
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.
Ответ: 840.

д) Вычислим $A_7^5$. Здесь $n=7, k=5$.
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$.
Ответ: 2520.

е) Вычислим $A_8^1$. Здесь $n=8, k=1$.
$A_8^1 = \frac{8!}{(8-1)!} = \frac{8!}{7!} = \frac{8 \cdot 7!}{7!} = 8$.
Ответ: 8.

Докажите, что $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Размещением из $n$ элементов по $k$ ($A_n^k$) называется количество способов составить упорядоченную последовательность (кортеж) длины $k$ из $n$ различных элементов.

Доказательство проведем, используя комбинаторное правило умножения.

• Для выбора первого элемента последовательности существует $n$ способов.
• Для выбора второго элемента — $n-1$ способ, так как один элемент уже выбран.
• Для выбора третьего элемента — $n-2$ способа.
• ...
• Для выбора $k$-го элемента остается $n-(k-1) = n-k+1$ способ.

По правилу умножения, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.

Чтобы привести это выражение к стандартному виду с факториалами, умножим и разделим его на $(n-k)!$: $A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе получилось произведение всех целых чисел от $n$ до 1, что по определению является факториалом числа $n$, то есть $n!$. Таким образом, получаем искомую формулу: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Что и требовалось доказать.

1.59 Вычислите:

а) $\frac{A_{12}^4 - A_{11}^4}{A_{10}^3}$;

б) $\frac{A_{15}^4 + A_{14}^5}{A_{15}^3}$;

в) $\frac{A_{13}^3}{A_{15}^3 - A_{14}^3}$;

г) $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4}$;

д) $\frac{A_{12}^4 \cdot 7!}{A_{11}^9}$;

е) $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot 12!}$

Для решения данных задач воспользуемся формулой для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$.

а) $\frac{A_{12}^4 - A_{11}^4}{A_{10}^3}$

Представим каждый член выражения, используя развернутую формулу размещений:

$A_{12}^4 = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9$

$A_{11}^4 = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8$

$A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8$

Подставим эти значения в исходное выражение. В числителе вынесем общие множители за скобки:

$\frac{A_{12}^4 - A_{11}^4}{A_{10}^3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 - 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot (12 - 8)}{10 \cdot 9 \cdot 8}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{11 \cdot 4}{8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5.5$

Ответ: 5.5

б) $\frac{A_{15}^4 + A_{14}^5}{A_{15}^3}$

Представим каждый член выражения:

$A_{15}^4 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12$

$A_{14}^5 = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

$A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13$

Подставим в выражение и вынесем общие множители в числителе:

$\frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 + 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot (15 + 11 \cdot 10)}{15 \cdot 14 \cdot 13}$

Выполним вычисления в скобках и сократим дробь:

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot (15 + 110)}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 125}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{12 \cdot 125}{15} = \frac{12}{15} \cdot 125 = \frac{4}{5} \cdot 125 = 4 \cdot 25 = 100$

Ответ: 100

в) $\frac{A_{13}^3}{A_{15}^3 - A_{14}^3}$

Представим каждый член выражения:

$A_{13}^3 = 13 \cdot 12 \cdot 11$

$A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13$

$A_{14}^3 = 14 \cdot 13 \cdot 12$

Подставим в выражение и вынесем общие множители в знаменателе:

$\frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{15 \cdot 14 \cdot 13 - 14 \cdot 13 \cdot 12} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{14 \cdot 13 \cdot (15 - 12)} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{14 \cdot 13 \cdot 3}$

Сократим дробь:

$\frac{12 \cdot 11}{14 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 11}{14} = \frac{2 \cdot 11}{7} = \frac{22}{7}$

Ответ: $\frac{22}{7}$

г) $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4}$

Представим каждый член выражения:

$A_{13}^3 = 13 \cdot 12 \cdot 11$

$A_{14}^4 = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11$

$A_{13}^4 = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

Подставим в выражение и вынесем общие множители в знаменателе:

$\frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 - 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot (14 - 10)} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 4}$

Сократим общие множители:

$\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) $\frac{A_{12}^4 \cdot 7!}{A_{11}^9}$

Для этого примера удобнее использовать формулу с факториалами $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$

$A_{11}^9 = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$

Подставим в выражение:

$\frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$

Упростим выражение, используя свойства факториалов $n! = n \cdot (n-1)!$:

$\frac{12 \cdot 11! \cdot 7! \cdot 2!}{8 \cdot 7! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: 3

е) $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot 12!}$

Используем формулу с факториалами:

$A_{15}^{12} = \frac{15!}{(15-12)!} = \frac{15!}{3!}$

$A_{16}^3 = \frac{16!}{(16-3)!} = \frac{16!}{13!}$

Подставим в выражение:

$\frac{\frac{15!}{3!}}{\frac{16!}{13!} \cdot 12!} = \frac{15!}{3!} \cdot \frac{13!}{16! \cdot 12!}$

Упростим выражение:

$\frac{15! \cdot 13!}{3! \cdot (16 \cdot 15!) \cdot 12!} = \frac{13!}{3! \cdot 16 \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 12!}{3! \cdot 16 \cdot 12!} = \frac{13}{3! \cdot 16} = \frac{13}{6 \cdot 16} = \frac{13}{96}$

Ответ: $\frac{13}{96}$

1.60 Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами:

а) две;

б) три;

в) четыре разные путёвки в санатории?

Для решения этой задачи используется раздел математики, называемый комбинаторикой. Так как все путевки, которые нужно распределить, являются разными, то порядок их распределения имеет значение. Например, ситуация, когда человек А получает путевку 1, а человек Б — путевку 2, отличается от ситуации, когда человек А получает путевку 2, а человек Б — путевку 1. Кроме того, один человек не может получить более одной путевки.

Такие комбинации, где важен порядок элементов и элементы не повторяются, называются размещениями без повторений.

Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае, общее число людей $n = 6$, а $k$ — это количество путевок, которое меняется в каждом подпункте.

а) Распределить две разные путевки.
Здесь количество путевок $k=2$. Нужно найти число способов распределить 2 разные путевки среди 6 человек.
Первую путевку можно отдать любому из 6 человек (6 вариантов).
Вторую путевку можно отдать любому из оставшихся 5 человек (5 вариантов).
Общее число способов равно произведению вариантов: $6 \cdot 5 = 30$.
Или, используя формулу размещений:
$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: 30.

б) Распределить три разные путевки.
Здесь количество путевок $k=3$.
Первую путевку можно отдать любому из 6 человек.
Вторую — любому из 5 оставшихся.
Третью — любому из 4 оставшихся.
Общее число способов: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
По формуле размещений:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
Ответ: 120.

в) Распределить четыре разные путевки.
Здесь количество путевок $k=4$.
Рассуждая аналогично предыдущим пунктам, получаем:
$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
По формуле размещений:
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
Ответ: 360.

1.61 Найдите натуральное число x, для которого выполняется равенство:

а) $A_x^2 = 72;$ б) $A_{x-1}^2 = 110;$

в) $A_{x+1}^2 = 90;$ г) $A_x^3 - A_x^2 = 0;$

д) $A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96;$ е) $A_{x+1}^4 + A_x^4 = 144.$

а) $A_x^2 = 72$

Число размещений из $n$ по $k$ определяется формулой $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.
Для $A_x^2$ имеем $n=x$ и $k=2$, поэтому $A_x^2 = x(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$x(x-1) = 72$
$x^2 - x - 72 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: их произведение равно -72, а сумма равна 1. Это числа 9 и -8. Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}$
$x_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9$
$x_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8$
По условию, $x$ - натуральное число, поэтому $x>0$. Также для существования $A_x^2$ необходимо, чтобы $x \ge 2$.
Корень $x = -8$ не является натуральным числом. Корень $x=9$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $x=9$

б) $A_{x-1}^2 = 110$

Здесь $n=x-1$ и $k=2$. Формула для размещений дает $A_{x-1}^2 = (x-1)((x-1)-1) = (x-1)(x-2)$.
Получаем уравнение:
$(x-1)(x-2) = 110$
$x^2 - 2x - x + 2 = 110$
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}$
$x_1 = \frac{3 + 21}{2} = 12$
$x_2 = \frac{3 - 21}{2} = -9$
По условию, $x$ - натуральное число. Также для $A_{x-1}^2$ должно выполняться условие $x-1 \ge 2$, то есть $x \ge 3$.
Корень $x = -9$ не подходит. Корень $x=12$ удовлетворяет условиям.
Ответ: $x=12$

в) $A_{x+1}^2 = 90$

Здесь $n=x+1$ и $k=2$. Формула для размещений дает $A_{x+1}^2 = (x+1)((x+1)-1) = (x+1)x$.
Получаем уравнение:
$x(x+1) = 90$
$x^2 + x - 90 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 9$, $x_2 = -10$.
По условию, $x$ - натуральное число. Для $A_{x+1}^2$ должно выполняться условие $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.
Корень $x = -10$ не подходит. Корень $x=9$ удовлетворяет условиям.
Ответ: $x=9$

г) $A_x^3 - A_x^2 = 0$

Используем формулы $A_x^3 = x(x-1)(x-2)$ и $A_x^2 = x(x-1)$.
Уравнение можно переписать как $A_x^3 = A_x^2$.
$x(x-1)(x-2) = x(x-1)$
Для существования $A_x^3$ необходимо $x \ge 3$, а для $A_x^2$ необходимо $x \ge 2$. Общее условие: $x \ge 3$.
При $x \ge 3$, выражения $x$ и $x-1$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:
$x - 2 = 1$
$x = 3$
Найденное значение $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.
Ответ: $x=3$

д) $A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96$

Используем формулы $A_{x+1}^3 = (x+1)x(x-1)$ и $A_{x-1}^3 = (x-1)(x-2)(x-3)$.
Условия существования: для $A_{x+1}^3$ нужно $x+1 \ge 3 \implies x \ge 2$; для $A_{x-1}^3$ нужно $x-1 \ge 3 \implies x \ge 4$. Общее условие: $x \ge 4$.
Подставляем выражения в уравнение:
$(x+1)x(x-1) - (x-1)(x-2)(x-3) = 96$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x-1)[(x+1)x - (x-2)(x-3)] = 96$
$(x-1)[(x^2+x) - (x^2 - 5x + 6)] = 96$
$(x-1)[x^2 + x - x^2 + 5x - 6] = 96$
$(x-1)(6x - 6) = 96$
$6(x-1)^2 = 96$
$(x-1)^2 = 16$
Отсюда $x-1 = 4$ или $x-1 = -4$.
$x = 5$ или $x = -3$.
Учитывая, что $x$ - натуральное число и $x \ge 4$, подходит только $x=5$.
Ответ: $x=5$

е) $A_{x+1}^4 + A_x^4 = 144$

Используем формулы $A_{x+1}^4 = (x+1)x(x-1)(x-2)$ и $A_x^4 = x(x-1)(x-2)(x-3)$.
Условия существования: для $A_{x+1}^4$ нужно $x+1 \ge 4 \implies x \ge 3$; для $A_x^4$ нужно $x \ge 4$. Общее условие: $x \ge 4$.
Подставляем выражения в уравнение:
$(x+1)x(x-1)(x-2) + x(x-1)(x-2)(x-3) = 144$
Вынесем общий множитель $x(x-1)(x-2)$ за скобки:
$x(x-1)(x-2)[(x+1) + (x-3)] = 144$
$x(x-1)(x-2)(2x-2) = 144$
$2x(x-1)(x-2)(x-1) = 144$
$x(x-1)^2(x-2) = 72$
Так как $x \ge 4$, решим уравнение подбором натурального числа.
Проверим $x=4$:
$4 \cdot (4-1)^2 \cdot (4-2) = 4 \cdot 3^2 \cdot 2 = 4 \cdot 9 \cdot 2 = 72$.
$72 = 72$.
Значение $x=4$ является решением. Функция $f(x) = x(x-1)^2(x-2)$ является возрастающей при $x \ge 4$, так как все множители положительны и возрастают. Следовательно, других натуральных решений, больших 4, нет.
Ответ: $x=4$