Номер 1.26, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.26, страница 15.

1.26 Укажите на координатной оси все числа $x$, для каждого из которых верно неравенство:

а) $|x| \le 3;$

б) $|x| \ge 4;$

в) $|2x| > 5;$

г) $|3x| < 7;$

д) $|x - 3| \ge 2;$

е) $|x + 3| \le 5;$

ж) $|2x - 3| > 5;$

з) $|3x + 4| < 7;$

и) $|5x - 4| \le 6.$

Задайте множество решений неравенства в виде промежутка или объединения промежутков.

а) Неравенство $|x| \le 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной оси не больше 3. Это равносильно двойному неравенству:
$-3 \le x \le 3$.
На координатной оси это множество точек, составляющих отрезок от -3 до 3, включая концы.
Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) Неравенство $|x| \ge 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной оси не меньше 4. Это равносильно совокупности двух неравенств:
$x \le -4$ или $x \ge 4$.
На координатной оси это множество точек, состоящее из двух лучей: один направлен от 4 в сторону увеличения (включая точку 4), а другой — от -4 в сторону уменьшения (включая точку -4).
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

в) Неравенство $|2x| > 5$ равносильно совокупности двух неравенств:
$2x < -5$ или $2x > 5$.
Решим каждое из них:
1) $2x < -5 \Rightarrow x < -5/2 \Rightarrow x < -2.5$.
2) $2x > 5 \Rightarrow x > 5/2 \Rightarrow x > 2.5$.
На координатной оси это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -2.5)$ и $(2.5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (2.5, +\infty)$.

г) Неравенство $|3x| < 7$ равносильно двойному неравенству:
$-7 < 3x < 7$.
Разделим все части неравенства на 3:
$-7/3 < x < 7/3$.
На координатной оси это интервал от $-7/3$ до $7/3$, не включая концы.
Ответ: $x \in (-7/3, 7/3)$.

д) Неравенство $|x - 3| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств:
$x - 3 \le -2$ или $x - 3 \ge 2$.
Решим каждое из них:
1) $x - 3 \le -2 \Rightarrow x \le 1$.
2) $x - 3 \ge 2 \Rightarrow x \ge 5$.
На координатной оси это объединение двух лучей: $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

е) Неравенство $|x + 3| \le 5$ равносильно двойному неравенству:
$-5 \le x + 3 \le 5$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-5 - 3 \le x \le 5 - 3$.
$-8 \le x \le 2$.
На координатной оси это отрезок от -8 до 2, включая концы.
Ответ: $x \in [-8, 2]$.

ж) Неравенство $|2x - 3| > 5$ равносильно совокупности двух неравенств:
$2x - 3 < -5$ или $2x - 3 > 5$.
Решим каждое из них:
1) $2x - 3 < -5 \Rightarrow 2x < -2 \Rightarrow x < -1$.
2) $2x - 3 > 5 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$.
На координатной оси это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -1)$ и $(4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$.

з) Неравенство $|3x + 4| < 7$ равносильно двойному неравенству:
$-7 < 3x + 4 < 7$.
Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-7 - 4 < 3x < 7 - 4$.
$-11 < 3x < 3$.
Разделим все части неравенства на 3:
$-11/3 < x < 1$.
На координатной оси это интервал от $-11/3$ до 1, не включая концы.
Ответ: $x \in (-11/3, 1)$.

и) Неравенство $|5x - 4| \le 6$ равносильно двойному неравенству:
$-6 \le 5x - 4 \le 6$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-6 + 4 \le 5x \le 6 + 4$.
$-2 \le 5x \le 10$.
Разделим все части неравенства на 5:
$-2/5 \le x \le 2$.
На координатной оси это отрезок от -0.4 (или $-2/5$) до 2, включая концы.
Ответ: $x \in [-2/5, 2]$.