Номер 1.23, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел - номер 1.23, страница 15.

Условие.

1.23 С помощью знаков $\in$ и $\notin$ запишите, какое из данных чисел принадлежит данному числовому промежутку, а какое нет:

а) 2, -3, 0, $[-2; 2)$;

б) -5, 7, 2, $(-5; 2)$;

в) -6, 0, 6, $(-\infty; 5)$;

г) -5, 100, 0, $[0; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дан числовой промежуток $[-2; 2)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $-2 \le x < 2$. Квадратная скобка означает, что левая граница (-2) включается в промежуток, а круглая скобка — что правая граница (2) не включается.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (2, -3, 0) этому промежутку:
- Для числа 2: Проверяем неравенство $-2 \le 2 < 2$. Вторая часть неравенства, $2 < 2$, является ложной. Следовательно, число 2 не принадлежит промежутку. Запись: $2 \notin [-2; 2)$.
- Для числа -3: Проверяем неравенство $-2 \le -3 < 2$. Первая часть неравенства, $-2 \le -3$, является ложной. Следовательно, число -3 не принадлежит промежутку. Запись: $-3 \notin [-2; 2)$.
- Для числа 0: Проверяем неравенство $-2 \le 0 < 2$. Обе части неравенства верны. Следовательно, число 0 принадлежит промежутку. Запись: $0 \in [-2; 2)$.

Ответ: $2 \notin [-2; 2)$; $-3 \notin [-2; 2)$; $0 \in [-2; 2)$.

б)

Дан числовой промежуток $(-5; 2)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $-5 < x < 2$. Круглые скобки означают, что обе границы (-5 и 2) не включаются в промежуток.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (-5, 7, 2) этому промежутку:
- Для числа -5: Проверяем неравенство $-5 < -5 < 2$. Первая часть, $-5 < -5$, является ложной. Следовательно, число -5 не принадлежит промежутку. Запись: $-5 \notin (-5; 2)$.
- Для числа 7: Проверяем неравенство $-5 < 7 < 2$. Вторая часть, $7 < 2$, является ложной. Следовательно, число 7 не принадлежит промежутку. Запись: $7 \notin (-5; 2)$.
- Для числа 2: Проверяем неравенство $-5 < 2 < 2$. Вторая часть, $2 < 2$, является ложной. Следовательно, число 2 не принадлежит промежутку. Запись: $2 \notin (-5; 2)$.

Ответ: $-5 \notin (-5; 2)$; $7 \notin (-5; 2)$; $2 \notin (-5; 2)$.

в)

Дан числовой промежуток $(-\infty; 5)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 5$. Этот промежуток включает все числа, которые строго меньше 5.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (-6, 0, 6) этому промежутку:
- Для числа -6: Проверяем неравенство $-6 < 5$. Неравенство верно. Следовательно, число -6 принадлежит промежутку. Запись: $-6 \in (-\infty; 5)$.
- Для числа 0: Проверяем неравенство $0 < 5$. Неравенство верно. Следовательно, число 0 принадлежит промежутку. Запись: $0 \in (-\infty; 5)$.
- Для числа 6: Проверяем неравенство $6 < 5$. Неравенство ложно. Следовательно, число 6 не принадлежит промежутку. Запись: $6 \notin (-\infty; 5)$.

Ответ: $-6 \in (-\infty; 5)$; $0 \in (-\infty; 5)$; $6 \notin (-\infty; 5)$.

г)

Дан числовой промежуток $[0; +\infty)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \ge 0$. Этот промежуток включает число 0 и все положительные числа.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (-5, 100, 0) этому промежутку:
- Для числа -5: Проверяем неравенство $-5 \ge 0$. Неравенство ложно. Следовательно, число -5 не принадлежит промежутку. Запись: $-5 \notin [0; +\infty)$.
- Для числа 100: Проверяем неравенство $100 \ge 0$. Неравенство верно. Следовательно, число 100 принадлежит промежутку. Запись: $100 \in [0; +\infty)$.
- Для числа 0: Проверяем неравенство $0 \ge 0$. Неравенство верно (так как $0 = 0$). Следовательно, число 0 принадлежит промежутку. Запись: $0 \in [0; +\infty)$.

Ответ: $-5 \notin [0; +\infty)$; $100 \in [0; +\infty)$; $0 \in [0; +\infty)$.