Номер 1.16, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.16, страница 9.

1.16 Решите уравнение:

а) $|x|=10;$

б) $|x|=9;$

в) $|2x|=3;$

г) $|3x|=7;$

д) $|x-5|=12;$

е) $|x+2|=7;$

ж) $|2x-5|=7;$

з) $|3x+5|=8;$

и) $|5x-8|=0.$

а) Решение уравнения $|x| = 10$.

По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 10$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 10. Таких чисел два: 10 и -10.

Формально, уравнение вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

В данном случае получаем:

$x = 10$ или $x = -10$.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = -10$.

б) Решение уравнения $|x| = 9$.

Аналогично предыдущему пункту, ищем числа, модуль которых равен 9. Такими числами являются 9 и -9.

Совокупность уравнений:

$x = 9$ или $x = -9$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -9$.

в) Решение уравнения $|2x| = 3$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2x = 3$. Решая его, находим $x = \frac{3}{2}$.

2) $2x = -3$. Решая его, находим $x = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{3}{2}$.

г) Решение уравнения $|3x| = 7$.

Уравнение распадается на два случая:

1) $3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$.

2) $3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = -\frac{7}{3}$.

д) Решение уравнения $|x - 5| = 12$.

Выражение под знаком модуля, $x-5$, должно быть равно либо 12, либо -12.

1) $x - 5 = 12 \implies x = 12 + 5 \implies x = 17$.

2) $x - 5 = -12 \implies x = -12 + 5 \implies x = -7$.

Ответ: $x_1 = 17, x_2 = -7$.

е) Решение уравнения $|x + 2| = 7$.

Рассматриваем два случая для подмодульного выражения:

1) $x + 2 = 7 \implies x = 7 - 2 \implies x = 5$.

2) $x + 2 = -7 \implies x = -7 - 2 \implies x = -9$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -9$.

ж) Решение уравнения $|2x - 5| = 7$.

Уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

1) $2x - 5 = 7 \implies 2x = 12 \implies x = \frac{12}{2} \implies x = 6$.

2) $2x - 5 = -7 \implies 2x = -2 \implies x = \frac{-2}{2} \implies x = -1$.

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -1$.

з) Решение уравнения $|3x + 5| = 8$.

Раскрываем модуль, получая два случая:

1) $3x + 5 = 8 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.

2) $3x + 5 = -8 \implies 3x = -13 \implies x = -\frac{13}{3}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{13}{3}$.

и) Решение уравнения $|5x - 8| = 0$.

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Поэтому данное уравнение имеет единственное решение и равносильно уравнению:

$5x - 8 = 0$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5}$

Ответ: $x = \frac{8}{5}$.