Номер 1.10, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.1. Понятие действительного числа - номер 1.10, страница 8.

Условие.

1.10° Верно ли, что любой упорядоченной паре действительных чисел $(x; y)$ соответствует единственная точка координатной плоскости и каждой точке координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел $(x; y)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Да, данное утверждение верно. Оно является фундаментальным принципом декартовой (прямоугольной) системы координат, устанавливающей взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Рассмотрим обе части этого утверждения.

Любой упорядоченной паре действительных чисел $(x; y)$ соответствует единственная точка координатной плоскости

Это утверждение верно. Координатная плоскость определяется двумя перпендикулярными осями: осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$. Любая упорядоченная пара действительных чисел $(x; y)$ задает координаты точки. Чтобы найти эту точку, откладывают значение $x$ (абсциссу) на оси $Ox$ и значение $y$ (ординату) на оси $Oy$. Через эти отметки проводят прямые, перпендикулярные соответствующим осям. Точка их пересечения и является искомой точкой $M(x; y)$. Так как для любой пары $(x; y)$ такая точка пересечения существует и она единственна, то соответствие является однозначным.

Каждой точке координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел $(x; y)$

Это утверждение также верно. Для любой точки $M$ на координатной плоскости можно найти соответствующую ей пару чисел. Для этого из точки $M$ опускают перпендикуляры на оси координат. Основание перпендикуляра, опущенного на ось $Ox$, определяет на ней единственное действительное число — абсциссу $x$. Аналогично, основание перпендикуляра, опущенного на ось $Oy$, определяет единственное действительное число — ординату $y$. Таким образом, каждой точке $M$ на плоскости ставится в соответствие единственная упорядоченная пара чисел $(x; y)$.

Поскольку оба утверждения верны, между множеством всех упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех точек на координатной плоскости существует взаимно однозначное соответствие.

Ответ: Да, верно.