Номер 1.3, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.3, страница 8.

1.3° В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, а в каком случае нельзя?

Для определения, можно ли несократимую обыкновенную дробь представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо проанализировать простые множители ее знаменателя.

В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби

Несократимую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение ее знаменателя $q$ на простые множители не содержит никаких других простых чисел, кроме 2 и 5.

Это правило вытекает из определения десятичной дроби. Конечная десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, любая степень числа 10 (например, $10^k$) может быть представлена в виде произведения $2^k \cdot 5^k$. Таким образом, для преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную необходимо привести ее к знаменателю, равному степени десяти. Это возможно только в том случае, если знаменатель исходной несократимой дроби уже содержит в своем разложении на простые множители только 2 и 5. Если знаменатель $q$ имеет вид $q = 2^n \cdot 5^m$, то, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители (либо $5^{n-m}$ при $n>m$, либо $2^{m-n}$ при $m>n$), мы получим в знаменателе степень числа 10.

Например, рассмотрим дробь $\frac{7}{40}$. Она несократима. Знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Чтобы получить в знаменателе степень десяти, домножим числитель и знаменатель на $5^{3-1} = 5^2 = 25$: $\frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} = 0.175$.

Ответ: Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель в разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5.

В каком случае несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби

Если в разложении знаменателя $q$ несократимой обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то такую дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении числителя на знаменатель в этом случае получится бесконечная периодическая десятичная дробь.

Это происходит потому, что знаменатель такой дроби невозможно привести к степени числа 10 путем умножения на целое число. Если знаменатель $q$ содержит простой множитель $k$ (где $k \neq 2$ и $k \neq 5$), то любое число, полученное умножением $q$ на целое число, также будет делиться на $k$. Однако, как было установлено ранее, знаменатель конечной десятичной дроби (степень числа 10) может содержать в своем разложении на простые множители только 2 и 5. Противоречие доказывает, что преобразование невозможно.

Например, рассмотрим дробь $\frac{5}{12}$. Она несократима. Ее знаменатель $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует простой множитель 3, который не равен ни 2, ни 5. Поэтому эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Действительно, при делении получаем: $\frac{5}{12} = 5 : 12 = 0.41666... = 0.41(6)$, что является бесконечной периодической дробью.

Ответ: Несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель в разложении на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.