Номер 1.2, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.2, страница 7.

1.2 Может ли:

а) разность отрицательных чисел быть положительным числом;

б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом;

в) произведение иррациональных чисел быть рациональным числом?

а) разность отрицательных чисел быть положительным числом;

Да, может. Разность двух чисел $a$ и $b$ — это выражение $a - b$. Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа, то есть $a < 0$ и $b < 0$. Чтобы их разность была положительным числом, должно выполняться условие $a - b > 0$, что равносильно $a > b$.

Таким образом, если из большего отрицательного числа вычесть меньшее отрицательное число, результат будет положительным. Приведем пример. Возьмем два отрицательных числа: $a = -3$ и $b = -10$. Оба числа отрицательные, и при этом $-3 > -10$.

Вычислим их разность:

$a - b = (-3) - (-10) = -3 + 10 = 7$.

Число $7$ является положительным. Следовательно, разность отрицательных чисел может быть положительным числом.

Ответ: да, может.

б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом;

Да, может. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Чтобы сумма двух иррациональных чисел была рациональным числом, можно подобрать такие числа, у которых иррациональные части взаимно уничтожаются.

Рассмотрим классический пример с иррациональным числом $\sqrt{2}$.

Пусть первое число $a = \sqrt{2}$ (иррациональное), а второе число $b = -\sqrt{2}$ (также иррациональное).

Их сумма будет равна:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Число $0$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $0/1$.

Другой пример: пусть $a = 5 - \sqrt{3}$ и $b = 1 + \sqrt{3}$. Оба этих числа являются иррациональными. Их сумма:

$a + b = (5 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 5 + 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 6$.

Число $6$ — рациональное.

Ответ: да, может.

в) произведение иррациональных чисел быть рациональным числом?

Да, может. Как и в случае с суммой, можно найти такие иррациональные числа, произведение которых будет рациональным.

Возьмем иррациональное число $\sqrt{5}$.

Пусть оба сомножителя равны этому числу: $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{5}$.

Найдем их произведение:

$a \cdot b = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Число $5$ является рациональным (его можно записать как $5/1$).

Другой пример: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{8}$. Оба числа иррациональны, так как $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Их произведение:

$a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$.

Число $4$ — рациональное.

Ответ: да, может.