Номер 1.7, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.1. Понятие действительного числа - номер 1.7, страница 8.

Условие.

1.7 Сравните числа:

а) $ \frac{1}{3} $ и $ 0,3 $;

б) $ \frac{1}{3} $ и $ 0,(3) $;

в) $ 0,3 $ и $ 0,(3) $;

г) $ 0,5 $ и $ \frac{1}{2} $;

д) $ \frac{1}{3} $ и $ 0,5 $;

е) $ 0,5 $ и $ 0,(5) $;

ж) $ -\frac{1}{5} $ и $ -0,2 $;

з) $ -\frac{1}{5} $ и $ -0,(2) $;

и) $ -0,2 $ и $ -0,(2) $;

к) $ -0,45 $ и $ -0,(45) $;

л) $ -0,45 $ и $ -\frac{5}{11} $;

м) $ -\frac{5}{11} $ и $ -0,(46) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы сравнить числа $\frac{1}{3}$ и $0,3$, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Теперь сравним $0,(3)$ и $0,3$. $0,(3) = 0.333...$, а $0,3 = 0.300...$. Сравнивая цифры в разрядах, видим, что в разряде сотых у первого числа стоит 3, а у второго 0. Так как $3 > 0$, то $0,(3) > 0,3$. Следовательно, $\frac{1}{3} > 0,3$.
Ответ: $\frac{1}{3} > 0,3$.

б) Представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной: $1 \div 3 = 0,333...$, что равно периодической дроби $0,(3)$. Таким образом, числа $\frac{1}{3}$ и $0,(3)$ равны.
Ответ: $\frac{1}{3} = 0,(3)$.

в) Сравним числа $0,3$ и $0,(3)$. Запишем их с большим количеством знаков после запятой для наглядности: $0,3 = 0,300...$ и $0,(3) = 0,333...$. Сравнивая цифры в разряде сотых, видим, что $0 < 3$. Следовательно, $0,3 < 0,(3)$.
Ответ: $0,3 < 0,(3)$.

г) Чтобы сравнить $0,5$ и $\frac{1}{2}$, переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$. Таким образом, числа равны.
Ответ: $0,5 = \frac{1}{2}$.

д) Сравним числа $\frac{1}{3}$ и $0,5$. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 0,(3) = 0,333...$. Сравниваем $0,333...$ и $0,5$. В разряде десятых у первого числа стоит 3, а у второго 5. Так как $3 < 5$, то $\frac{1}{3} < 0,5$.
Ответ: $\frac{1}{3} < 0,5$.

е) Сравним числа $0,5$ и $0,(5)$. Запишем их развернуто: $0,5 = 0,500...$ и $0,(5) = 0,555...$. В разряде сотых у первого числа стоит 0, а у второго 5. Так как $0 < 5$, то $0,5 < 0,(5)$.
Ответ: $0,5 < 0,(5)$.

ж) Сравним числа $-\frac{1}{5}$ и $-0,2$. Переведем дробь $-\frac{1}{5}$ в десятичную: $-\frac{1}{5} = -\frac{2}{10} = -0,2$. Числа равны.
Ответ: $-\frac{1}{5} = -0,2$.

з) Сравним числа $-\frac{1}{5}$ и $-0,(2)$. Мы знаем, что $-\frac{1}{5} = -0,2$. Теперь сравним $-0,2$ и $-0,(2)$. Это отрицательные числа. Сначала сравним их модули: $|-0,2| = 0,2$ и $|-0,(2)| = 0,222...$. Так как $0,2 < 0,222...$, то $|-0,2| < |-0,(2)|$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-0,2 > -0,(2)$. Следовательно, $-\frac{1}{5} > -0,(2)$.
Ответ: $-\frac{1}{5} > -0,(2)$.

и) Сравним отрицательные числа $-0,2$ и $-0,(2)$. Для этого сравним их модули: $|-0,2| = 0,2 = 0,200...$ и $|-0,(2)| = 0,(2) = 0,222...$. Так как $0,200... < 0,222...$, то $|-0,2| < |-0,(2)|$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Значит, $-0,2 > -0,(2)$.
Ответ: $-0,2 > -0,(2)$.

к) Сравним отрицательные числа $-0,45$ и $-0,(45)$. Сравним их модули: $|-0,45| = 0,45 = 0,4500...$ и $|-0,(45)| = 0,(45) = 0,4545...$. Сравнивая цифры в разряде тысячных, видим, что $0 < 4$, поэтому $0,45 < 0,(45)$. Так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, получаем $-0,45 > -0,(45)$.
Ответ: $-0,45 > -0,(45)$.

л) Сравним числа $-0,45$ и $-\frac{5}{11}$. Переведем дробь в десятичную: $5 \div 11 = 0,4545... = 0,(45)$. Значит, $-\frac{5}{11} = -0,(45)$. Теперь задача сводится к сравнению чисел $-0,45$ и $-0,(45)$, что было сделано в предыдущем пункте. Так как $-0,45 > -0,(45)$, то $-0,45 > -\frac{5}{11}$.
Ответ: $-0,45 > -\frac{5}{11}$.

м) Сравним числа $-\frac{5}{11}$ и $-0,(46)$. Мы уже знаем, что $-\frac{5}{11} = -0,(45)$. Теперь сравним $-0,(45)$ и $-0,(46)$. Сравним их модули: $|-0,(45)| = 0,4545...$ и $|-0,(46)| = 0,4646...$. Сравнивая цифры в разряде сотых, видим, что $5 < 6$, поэтому $0,(45) < 0,(46)$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется: $-0,(45) > -0,(46)$. Следовательно, $-\frac{5}{11} > -0,(46)$.
Ответ: $-\frac{5}{11} > -0,(46)$.