Страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3° В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, а в каком случае нельзя?

Для определения, можно ли несократимую обыкновенную дробь представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо проанализировать простые множители ее знаменателя.

В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби

Несократимую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение ее знаменателя $q$ на простые множители не содержит никаких других простых чисел, кроме 2 и 5.

Это правило вытекает из определения десятичной дроби. Конечная десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, любая степень числа 10 (например, $10^k$) может быть представлена в виде произведения $2^k \cdot 5^k$. Таким образом, для преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную необходимо привести ее к знаменателю, равному степени десяти. Это возможно только в том случае, если знаменатель исходной несократимой дроби уже содержит в своем разложении на простые множители только 2 и 5. Если знаменатель $q$ имеет вид $q = 2^n \cdot 5^m$, то, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители (либо $5^{n-m}$ при $n>m$, либо $2^{m-n}$ при $m>n$), мы получим в знаменателе степень числа 10.

Например, рассмотрим дробь $\frac{7}{40}$. Она несократима. Знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Чтобы получить в знаменателе степень десяти, домножим числитель и знаменатель на $5^{3-1} = 5^2 = 25$: $\frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} = 0.175$.

Ответ: Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель в разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5.

В каком случае несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби

Если в разложении знаменателя $q$ несократимой обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то такую дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении числителя на знаменатель в этом случае получится бесконечная периодическая десятичная дробь.

Это происходит потому, что знаменатель такой дроби невозможно привести к степени числа 10 путем умножения на целое число. Если знаменатель $q$ содержит простой множитель $k$ (где $k \neq 2$ и $k \neq 5$), то любое число, полученное умножением $q$ на целое число, также будет делиться на $k$. Однако, как было установлено ранее, знаменатель конечной десятичной дроби (степень числа 10) может содержать в своем разложении на простые множители только 2 и 5. Противоречие доказывает, что преобразование невозможно.

Например, рассмотрим дробь $\frac{5}{12}$. Она несократима. Ее знаменатель $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует простой множитель 3, который не равен ни 2, ни 5. Поэтому эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Действительно, при делении получаем: $\frac{5}{12} = 5 : 12 = 0.41666... = 0.41(6)$, что является бесконечной периодической дробью.

Ответ: Несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель в разложении на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

1.4 Представьте каждую обыкновенную дробь в виде периодической дроби:

а) $ \frac{1}{2}; \frac{3}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{5}; \frac{3}{25}; \frac{1}{125} $

б) $ \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{9}; \frac{2}{9}; \frac{5}{9}; \frac{7}{9}; \frac{1}{7} $

а)

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде периодической, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Если в знаменателе несократимой дроби содержатся только простые множители 2 и 5, то такая дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, дописав в периоде 0.

Для дроби $\frac{1}{2}$:
Приведем дробь к знаменателю, равному степени 10:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0.5$.
Запишем в виде периодической дроби: $0.5 = 0.5000... = 0.5(0)$.
Ответ: $0.5(0)$.

Для дроби $\frac{3}{4}$:
Приведем дробь к знаменателю 100, так как $4 = 2^2$:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$.
В виде периодической дроби: $0.75 = 0.75(0)$.
Ответ: $0.75(0)$.

Для дроби $\frac{1}{8}$:
Приведем дробь к знаменателю 1000, так как $8 = 2^3$:
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0.125$.
В виде периодической дроби: $0.125 = 0.125(0)$.
Ответ: $0.125(0)$.

Для дроби $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0.2$.
В виде периодической дроби: $0.2 = 0.2(0)$.
Ответ: $0.2(0)$.

Для дроби $\frac{3}{25}$:
Приведем дробь к знаменателю 100, так как $25 = 5^2$:
$\frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{100} = 0.12$.
В виде периодической дроби: $0.12 = 0.12(0)$.
Ответ: $0.12(0)$.

Для дроби $\frac{1}{125}$:
Приведем дробь к знаменателю 1000, так как $125 = 5^3$:
$\frac{1}{125} = \frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000} = 0.008$.
В виде периодической дроби: $0.008 = 0.008(0)$.
Ответ: $0.008(0)$.

б)

Если в знаменателе несократимой дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь. Для нахождения ее вида выполним деление числителя на знаменатель в столбик.

Для дроби $\frac{1}{3}$:
При делении 1 на 3 столбиком, после получения 0 в целой части, мы постоянно будем делить 10 на 3, получая в частном 3 и в остатке 1. Процесс бесконечен, и цифра 3 повторяется.
$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333... = 0.(3)$.
Ответ: $0.(3)$.

Для дроби $\frac{2}{3}$:
При делении 2 на 3 столбиком, после получения 0 в целой части, мы постоянно будем делить 20 на 3, получая в частном 6 и в остатке 2. Процесс бесконечен, и цифра 6 повторяется.
$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0.666... = 0.(6)$.
Ответ: $0.(6)$.

Для дроби $\frac{1}{9}$:
При делении 1 на 9 получаем бесконечно повторяющуюся цифру 1 в частном, так как остаток всегда равен 1.
$\frac{1}{9} = 1 \div 9 = 0.111... = 0.(1)$.
Ответ: $0.(1)$.

Для дроби $\frac{2}{9}$:
При делении 2 на 9 получаем бесконечно повторяющуюся цифру 2 в частном, так как остаток всегда равен 2.
$\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0.222... = 0.(2)$.
Ответ: $0.(2)$.

Для дроби $\frac{5}{9}$:
Аналогично, при делении 5 на 9 получаем в периоде цифру 5.
$\frac{5}{9} = 5 \div 9 = 0.555... = 0.(5)$.
Ответ: $0.(5)$.

Для дроби $\frac{7}{9}$:
Аналогично, при делении 7 на 9 получаем в периоде цифру 7.
$\frac{7}{9} = 7 \div 9 = 0.777... = 0.(7)$.
Ответ: $0.(7)$.

Для дроби $\frac{1}{7}$:
Выполним деление 1 на 7 в столбик. Остатки при делении будут повторяться, что приведет к периодической дроби.
$1 \div 7$:
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
Поскольку остаток 1 повторился (это было начальное делимое), последовательность цифр в частном 142857 начнет повторяться. Это и есть период дроби.
$\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.(142857)$.
Ответ: $0.(142857)$.

1.5* Представьте каждую периодическую дробь в виде обыкновен- ной дроби:

a) $0,(3)$; $0,(1)$; $0,(5)$; $0,(7)$;

б) $0,(13)$; $0,(27)$; $0,(45)$; $0,(54)$;

в) $0,(128)$; $0,(123)$; $0,(945)$; $0,(138)$;

г) $0,0(3)$; $0,0(72)$; $0,00(13)$; $0,0(549)$;

д) $2,(8)$; $3,(14)$; $7,(12)$; $3,0(27)$;

е) $0,12(0)$; $3,37(0)$; $0,005(0)$.

а) Для преобразования чистой периодической дроби в обыкновенную необходимо в числитель записать её период, а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде.

• $0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
• $0,(1) = \frac{1}{9}$
• $0,(5) = \frac{5}{9}$
• $0,(7) = \frac{7}{9}$

Ответ: $0,(3) = \frac{1}{3}$; $0,(1) = \frac{1}{9}$; $0,(5) = \frac{5}{9}$; $0,(7) = \frac{7}{9}$.

б) Используем то же правило, что и в пункте а). Период состоит из двух цифр, поэтому в знаменателе будет 99.

• $0,(13) = \frac{13}{99}$
• $0,(27) = \frac{27}{99} = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$
• $0,(45) = \frac{45}{99} = \frac{45 \div 9}{99 \div 9} = \frac{5}{11}$
• $0,(54) = \frac{54}{99} = \frac{54 \div 9}{99 \div 9} = \frac{6}{11}$

Ответ: $0,(13) = \frac{13}{99}$; $0,(27) = \frac{3}{11}$; $0,(45) = \frac{5}{11}$; $0,(54) = \frac{6}{11}$.

в) Период состоит из трех цифр, поэтому в знаменателе будет 999.

• $0,(128) = \frac{128}{999}$
• $0,(123) = \frac{123}{999} = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}$
• $0,(945) = \frac{945}{999} = \frac{945 \div 9}{999 \div 9} = \frac{105}{111} = \frac{105 \div 3}{111 \div 3} = \frac{35}{37}$
• $0,(138) = \frac{138}{999} = \frac{138 \div 3}{999 \div 3} = \frac{46}{333}$

Ответ: $0,(128) = \frac{128}{999}$; $0,(123) = \frac{41}{333}$; $0,(945) = \frac{35}{37}$; $0,(138) = \frac{46}{333}$.

г) Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную, нужно из числа, стоящего после запятой до конца первого периода, вычесть число, стоящее после запятой до начала периода. Эта разность будет числителем. Знаменатель будет состоять из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей справа, сколько цифр между запятой и периодом.

• $0,0(3)$: Числитель: $03 - 0 = 3$. В периоде 1 цифра, до периода 1 цифра. Знаменатель: 90. Получаем $\frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.
• $0,0(72)$: Числитель: $072 - 0 = 72$. В периоде 2 цифры, до периода 1 цифра. Знаменатель: 990. Получаем $\frac{72}{990} = \frac{72 \div 18}{990 \div 18} = \frac{4}{55}$.
• $0,00(13)$: Числитель: $0013 - 00 = 13$. В периоде 2 цифры, до периода 2 цифры. Знаменатель: 9900. Получаем $\frac{13}{9900}$.
• $0,0(549)$: Числитель: $0549 - 0 = 549$. В периоде 3 цифры, до периода 1 цифра. Знаменатель: 9990. Получаем $\frac{549}{9990} = \frac{549 \div 9}{9990 \div 9} = \frac{61}{1110}$.

Ответ: $0,0(3) = \frac{1}{30}$; $0,0(72) = \frac{4}{55}$; $0,00(13) = \frac{13}{9900}$; $0,0(549) = \frac{61}{1110}$.

д) Для дробей, имеющих целую часть, мы представляем их в виде суммы целой части и дробной части, а затем преобразуем дробную часть в обыкновенную дробь по известным правилам.

• $2,(8) = 2 + 0,(8) = 2 + \frac{8}{9} = \frac{18}{9} + \frac{8}{9} = \frac{26}{9}$.
• $3,(14) = 3 + 0,(14) = 3 + \frac{14}{99} = \frac{3 \cdot 99 + 14}{99} = \frac{297 + 14}{99} = \frac{311}{99}$.
• $7,(12) = 7 + 0,(12) = 7 + \frac{12}{99} = 7 + \frac{4}{33} = \frac{7 \cdot 33 + 4}{33} = \frac{231 + 4}{33} = \frac{235}{33}$.
• $3,0(27) = 3 + 0,0(27) = 3 + \frac{27-0}{990} = 3 + \frac{27}{990} = 3 + \frac{3}{110} = \frac{3 \cdot 110 + 3}{110} = \frac{330+3}{110} = \frac{333}{110}$.

Ответ: $2,(8) = \frac{26}{9}$; $3,(14) = \frac{311}{99}$; $7,(12) = \frac{235}{33}$; $3,0(27) = \frac{333}{110}$.

е) Периодическая дробь с периодом (0) является конечной десятичной дробью. Запись вида $a,(0)$ означает, что после цифры $a$ следуют бесконечное число нулей, что не меняет значения дроби.

• $0,12(0) = 0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$
• $3,37(0) = 3,37 = 3 + \frac{37}{100} = \frac{337}{100}$
• $0,005(0) = 0,005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}$

Ответ: $0,12(0) = \frac{3}{25}$; $3,37(0) = \frac{337}{100}$; $0,005(0) = \frac{1}{200}$.

1.6° Как сравнивают действительные числа:

а) с помощью координатной прямой;

б) по их десятичной записи?

а) с помощью координатной прямой

Действительные числа можно представить точками на координатной (или числовой) прямой. Это прямая линия, на которой выбрана точка отсчета (ноль), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на этой прямой, и наоборот.

Сравнение двух действительных чисел $a$ и $b$ с помощью координатной прямой основано на их взаимном расположении.

• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит правее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ больше числа $b$. Это записывается как $a > b$.
• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит левее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ меньше числа $b$. Это записывается как $a < b$.
• Если точки, соответствующие числам $a$ и $b$, совпадают, то числа равны: $a = b$.

Например, так как точка с координатой 3 находится правее точки с координатой -1, то $3 > -1$. Так как точка с координатой -5 находится левее точки с координатой -2, то $-5 < -2$.

Ответ: Из двух действительных чисел большим является то, которое на координатной прямой изображается точкой, расположенной правее, а меньшим — то, которое изображается точкой, расположенной левее.

б) по их десятичной записи

Любое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби. Сравнение чисел по их десятичной записи производится по определенным правилам.

1. Сначала сравнивают знаки чисел. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Например, $0.001 > -1000$. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля.
2. Сравнение двух положительных чисел. Пусть даны два положительных числа $a$ и $b$. Их сравнивают поразрядно, двигаясь слева направо.
   • Сначала сравнивают их целые части. Большим будет то число, у которого целая часть больше. Например, в числах $15.7$ и $12.98$ целые части равны $15$ и $12$. Так как $15 > 12$, то $15.7 > 12.98$.
   • Если целые части равны, то сравнивают цифры в разряде десятых. Большим будет то число, у которого цифра в разряде десятых больше. Например, в числах $3.14$ и $3.21$ целые части равны. Сравниваем десятые: $1 < 2$, значит $3.14 < 3.21$.
   • Если равны и целые части, и цифры в разряде десятых, то переходят к сравнению сотых, затем тысячных и так далее, до тех пор пока не встретится первый разряд с несовпадающими цифрами. Большим будет то число, у которого соответствующая цифра больше. Например, сравним числа $0.333...$ (то есть $1/3$) и $0.34$. Целые части равны 0, десятые доли равны 3. Сравниваем сотые: $3 < 4$, значит $0.333... < 0.34$.
3. Сравнение двух отрицательных чисел. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Меньшим из двух отрицательных чисел является то, модуль которого больше. И наоборот, большим является то, модуль которого меньше. Например, чтобы сравнить $-7.5$ и $-7.4$, сравним их модули: $|-7.5| = 7.5$ и $|-7.4| = 7.4$. Так как $7.5 > 7.4$, то $-7.5 < -7.4$.

Ответ: Для сравнения двух действительных чисел по их десятичной записи сначала сравнивают их знаки. Если знаки разные, то положительное число всегда больше отрицательного. Если числа положительные, их сравнивают поразрядно слева направо, начиная с целой части; большим будет то число, у которого первая из различающихся цифр больше. Если числа отрицательные, то большим является то, модуль которого меньше.

1.7 Сравните числа:

а) $ \frac{1}{3} $ и $ 0,3 $;

б) $ \frac{1}{3} $ и $ 0,(3) $;

в) $ 0,3 $ и $ 0,(3) $;

г) $ 0,5 $ и $ \frac{1}{2} $;

д) $ \frac{1}{3} $ и $ 0,5 $;

е) $ 0,5 $ и $ 0,(5) $;

ж) $ -\frac{1}{5} $ и $ -0,2 $;

з) $ -\frac{1}{5} $ и $ -0,(2) $;

и) $ -0,2 $ и $ -0,(2) $;

к) $ -0,45 $ и $ -0,(45) $;

л) $ -0,45 $ и $ -\frac{5}{11} $;

м) $ -\frac{5}{11} $ и $ -0,(46) $.

а) Чтобы сравнить числа $\frac{1}{3}$ и $0,3$, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Теперь сравним $0,(3)$ и $0,3$. $0,(3) = 0.333...$, а $0,3 = 0.300...$. Сравнивая цифры в разрядах, видим, что в разряде сотых у первого числа стоит 3, а у второго 0. Так как $3 > 0$, то $0,(3) > 0,3$. Следовательно, $\frac{1}{3} > 0,3$.
Ответ: $\frac{1}{3} > 0,3$.

б) Представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной: $1 \div 3 = 0,333...$, что равно периодической дроби $0,(3)$. Таким образом, числа $\frac{1}{3}$ и $0,(3)$ равны.
Ответ: $\frac{1}{3} = 0,(3)$.

в) Сравним числа $0,3$ и $0,(3)$. Запишем их с большим количеством знаков после запятой для наглядности: $0,3 = 0,300...$ и $0,(3) = 0,333...$. Сравнивая цифры в разряде сотых, видим, что $0 < 3$. Следовательно, $0,3 < 0,(3)$.
Ответ: $0,3 < 0,(3)$.

г) Чтобы сравнить $0,5$ и $\frac{1}{2}$, переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$. Таким образом, числа равны.
Ответ: $0,5 = \frac{1}{2}$.

д) Сравним числа $\frac{1}{3}$ и $0,5$. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 0,(3) = 0,333...$. Сравниваем $0,333...$ и $0,5$. В разряде десятых у первого числа стоит 3, а у второго 5. Так как $3 < 5$, то $\frac{1}{3} < 0,5$.
Ответ: $\frac{1}{3} < 0,5$.

е) Сравним числа $0,5$ и $0,(5)$. Запишем их развернуто: $0,5 = 0,500...$ и $0,(5) = 0,555...$. В разряде сотых у первого числа стоит 0, а у второго 5. Так как $0 < 5$, то $0,5 < 0,(5)$.
Ответ: $0,5 < 0,(5)$.

ж) Сравним числа $-\frac{1}{5}$ и $-0,2$. Переведем дробь $-\frac{1}{5}$ в десятичную: $-\frac{1}{5} = -\frac{2}{10} = -0,2$. Числа равны.
Ответ: $-\frac{1}{5} = -0,2$.

з) Сравним числа $-\frac{1}{5}$ и $-0,(2)$. Мы знаем, что $-\frac{1}{5} = -0,2$. Теперь сравним $-0,2$ и $-0,(2)$. Это отрицательные числа. Сначала сравним их модули: $|-0,2| = 0,2$ и $|-0,(2)| = 0,222...$. Так как $0,2 < 0,222...$, то $|-0,2| < |-0,(2)|$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-0,2 > -0,(2)$. Следовательно, $-\frac{1}{5} > -0,(2)$.
Ответ: $-\frac{1}{5} > -0,(2)$.

и) Сравним отрицательные числа $-0,2$ и $-0,(2)$. Для этого сравним их модули: $|-0,2| = 0,2 = 0,200...$ и $|-0,(2)| = 0,(2) = 0,222...$. Так как $0,200... < 0,222...$, то $|-0,2| < |-0,(2)|$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Значит, $-0,2 > -0,(2)$.
Ответ: $-0,2 > -0,(2)$.

к) Сравним отрицательные числа $-0,45$ и $-0,(45)$. Сравним их модули: $|-0,45| = 0,45 = 0,4500...$ и $|-0,(45)| = 0,(45) = 0,4545...$. Сравнивая цифры в разряде тысячных, видим, что $0 < 4$, поэтому $0,45 < 0,(45)$. Так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, получаем $-0,45 > -0,(45)$.
Ответ: $-0,45 > -0,(45)$.

л) Сравним числа $-0,45$ и $-\frac{5}{11}$. Переведем дробь в десятичную: $5 \div 11 = 0,4545... = 0,(45)$. Значит, $-\frac{5}{11} = -0,(45)$. Теперь задача сводится к сравнению чисел $-0,45$ и $-0,(45)$, что было сделано в предыдущем пункте. Так как $-0,45 > -0,(45)$, то $-0,45 > -\frac{5}{11}$.
Ответ: $-0,45 > -\frac{5}{11}$.

м) Сравним числа $-\frac{5}{11}$ и $-0,(46)$. Мы уже знаем, что $-\frac{5}{11} = -0,(45)$. Теперь сравним $-0,(45)$ и $-0,(46)$. Сравним их модули: $|-0,(45)| = 0,4545...$ и $|-0,(46)| = 0,4646...$. Сравнивая цифры в разряде сотых, видим, что $5 < 6$, поэтому $0,(45) < 0,(46)$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется: $-0,(45) > -0,(46)$. Следовательно, $-\frac{5}{11} > -0,(46)$.
Ответ: $-\frac{5}{11} > -0,(46)$.

1.8 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \pi $; 3,(14); $ 3\frac{1}{7} $; 3,141;

б) -5,6789101112...; $ -5\frac{2}{3} $; $ -5\frac{8}{9} $; -5,(7); -5,9.

Чтобы расположить числа $π; 3,(14); 3\frac{1}{7}; 3,141$ в порядке возрастания, представим их в виде десятичных дробей и сравним.

1. $π$ (пи) — иррациональное число, его приближенное значение $π ≈ 3,14159...$

2. $3,(14)$ — периодическая десятичная дробь, которая равна $3,141414...$

3. $3\frac{1}{7}$ — смешанное число. Переведем дробную часть в десятичную дробь: $\frac{1}{7} = 1 : 7 ≈ 0,142857...$ Таким образом, $3\frac{1}{7} ≈ 3,142857...$

4. $3,141$ — конечная десятичная дробь, которую можно записать как $3,141000...$

Теперь сравним полученные десятичные дроби, выписав их одна под другой и сравнивая по разрядам:
$3,141 = 3,1410...$
$3,(14) = 3,1414...$
$π ≈ 3,1415...$
$3\frac{1}{7} ≈ 3,1428...$

Все числа имеют одинаковую целую часть (3) и первые два знака после запятой (14). Сравним по третьему знаку после запятой: у трех чисел это 1, а у числа $3\frac{1}{7}$ это 2. Следовательно, $3\frac{1}{7}$ — самое большое число.

Сравним оставшиеся три числа по четвертому знаку после запятой:
У $3,141$ он равен 0.
У $3,(14)$ он равен 4.
У $π$ он равен 5.

Поскольку $0 < 4 < 5$, то $3,141 < 3,(14) < π$.

Расположив все числа в порядке возрастания, получаем: $3,141 < 3,(14) < π < 3\frac{1}{7}$.

Ответ: $3,141; 3,(14); π; 3\frac{1}{7}$.

Чтобы расположить отрицательные числа $-5,6789101112...; -5\frac{2}{3}; -5\frac{8}{9}; -5,(7); -5,9$ в порядке возрастания, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Найдем модули данных чисел и представим их в виде десятичных дробей:

1. $|-5,6789101112...| = 5,6789101112...$

2. $|-5\frac{2}{3}| = 5\frac{2}{3} = 5 + \frac{2}{3} = 5 + 0,(6) = 5,666...$

3. $|-5\frac{8}{9}| = 5\frac{8}{9} = 5 + \frac{8}{9} = 5 + 0,(8) = 5,888...$

4. $|-5,(7)| = 5,(7) = 5,777...$

5. $|-5,9| = 5,9 = 5,900...$

Теперь расположим модули в порядке возрастания, сравнивая их поразрядно:
$5,666...$ ($| -5\frac{2}{3} |$)
$5,6789...$ ($| -5,6789101112... |$)
$5,777...$ ($| -5,(7) |$)
$5,888...$ ($| -5\frac{8}{9} |$)
$5,900...$ ($| -5,9 |$)

Получаем следующий ряд для модулей: $|-5\frac{2}{3}| < |-5,6789101112...| < |-5,(7)| < |-5\frac{8}{9}| < |-5,9|$.

Так как исходные числа отрицательные, порядок их расположения будет обратным порядку возрастания их модулей. Самое маленькое число то, у которого самый большой модуль.

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $-5,9 < -5\frac{8}{9} < -5,(7) < -5,6789101112... < -5\frac{2}{3}$.

Ответ: $-5,9; -5\frac{8}{9}; -5,(7); -5,6789101112...; -5\frac{2}{3}$.

1.9° Верно ли, что каждой точке координатной оси соответствует действительное число и каждому действительному числу соответствует точка координатной оси?

Да, данное утверждение абсолютно верно. Между множеством всех точек координатной оси и множеством всех действительных чисел ($ \mathbb{R} $) существует взаимно однозначное соответствие (биекция). Это означает, что:

• Каждой точке на координатной оси соответствует ровно одно действительное число.
• Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на координатной оси.

Рассмотрим оба аспекта этого соответствия.

1. Соответствие «точка → число»

Координатная ось — это прямая, на которой выбраны:

• Начало отсчета — точка $O$, которой сопоставлено число 0.
• Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу. Он задает масштаб.
• Положительное направление — направление от точки $O$, обычно обозначаемое стрелкой.

Для любой произвольной точки $M$ на этой оси мы можем найти ее координату. Координата — это действительное число, равное расстоянию от начала отсчета $O$ до точки $M$, измеренному в единицах масштаба. Знак этого числа определяется положением точки $M$ относительно начала отсчета: знак «$+$», если $M$ находится в положительном направлении от $O$, и знак «$-$», если в отрицательном. Таким образом, каждой точке, где бы она ни находилась, соответствует единственное действительное число.

2. Соответствие «число → точка»

Обратно, для любого действительного числа $x$ мы можем найти единственную точку на координатной оси.

• Если число $x$ положительное, мы откладываем от начала отсчета $O$ в положительном направлении отрезок длиной $x$. Конец этого отрезка и будет искомой точкой.
• Если число $x$ отрицательное, мы откладываем от начала отсчета $O$ в отрицательном направлении отрезок длиной $|x|$. Конец этого отрезка будет искомой точкой.
• Если число равно нулю, то ему соответствует само начало отсчета $O$.

Ключевым моментом здесь является аксиома полноты (или непрерывности) множества действительных чисел. Она гарантирует, что на числовой прямой нет «пропусков» или «дыр». Это значит, что не только для целых (например, -3, 0, 5) и рациональных (например, $1/2$, $-7/4$) чисел, но и для любого иррационального числа (например, $ \sqrt{2} $, $ \pi $, $ e $) существует соответствующая ему уникальная точка на оси.

Таким образом, координатная ось является идеальной геометрической моделью множества действительных чисел.

Ответ: Да, утверждение верно.

1.10° Верно ли, что любой упорядоченной паре действительных чисел $(x; y)$ соответствует единственная точка координатной плоскости и каждой точке координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел $(x; y)$?

Да, данное утверждение верно. Оно является фундаментальным принципом декартовой (прямоугольной) системы координат, устанавливающей взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Рассмотрим обе части этого утверждения.

Любой упорядоченной паре действительных чисел $(x; y)$ соответствует единственная точка координатной плоскости

Это утверждение верно. Координатная плоскость определяется двумя перпендикулярными осями: осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$. Любая упорядоченная пара действительных чисел $(x; y)$ задает координаты точки. Чтобы найти эту точку, откладывают значение $x$ (абсциссу) на оси $Ox$ и значение $y$ (ординату) на оси $Oy$. Через эти отметки проводят прямые, перпендикулярные соответствующим осям. Точка их пересечения и является искомой точкой $M(x; y)$. Так как для любой пары $(x; y)$ такая точка пересечения существует и она единственна, то соответствие является однозначным.

Каждой точке координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел $(x; y)$

Это утверждение также верно. Для любой точки $M$ на координатной плоскости можно найти соответствующую ей пару чисел. Для этого из точки $M$ опускают перпендикуляры на оси координат. Основание перпендикуляра, опущенного на ось $Ox$, определяет на ней единственное действительное число — абсциссу $x$. Аналогично, основание перпендикуляра, опущенного на ось $Oy$, определяет единственное действительное число — ординату $y$. Таким образом, каждой точке $M$ на плоскости ставится в соответствие единственная упорядоченная пара чисел $(x; y)$.

Поскольку оба утверждения верны, между множеством всех упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех точек на координатной плоскости существует взаимно однозначное соответствие.

Ответ: Да, верно.