Номер 1.4, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.4, страница 8.

1.4 Представьте каждую обыкновенную дробь в виде периодической дроби:

а) $ \frac{1}{2}; \frac{3}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{5}; \frac{3}{25}; \frac{1}{125} $

б) $ \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{9}; \frac{2}{9}; \frac{5}{9}; \frac{7}{9}; \frac{1}{7} $

а)

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде периодической, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Если в знаменателе несократимой дроби содержатся только простые множители 2 и 5, то такая дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, дописав в периоде 0.

Для дроби $\frac{1}{2}$:
Приведем дробь к знаменателю, равному степени 10:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0.5$.
Запишем в виде периодической дроби: $0.5 = 0.5000... = 0.5(0)$.
Ответ: $0.5(0)$.

Для дроби $\frac{3}{4}$:
Приведем дробь к знаменателю 100, так как $4 = 2^2$:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$.
В виде периодической дроби: $0.75 = 0.75(0)$.
Ответ: $0.75(0)$.

Для дроби $\frac{1}{8}$:
Приведем дробь к знаменателю 1000, так как $8 = 2^3$:
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0.125$.
В виде периодической дроби: $0.125 = 0.125(0)$.
Ответ: $0.125(0)$.

Для дроби $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0.2$.
В виде периодической дроби: $0.2 = 0.2(0)$.
Ответ: $0.2(0)$.

Для дроби $\frac{3}{25}$:
Приведем дробь к знаменателю 100, так как $25 = 5^2$:
$\frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{100} = 0.12$.
В виде периодической дроби: $0.12 = 0.12(0)$.
Ответ: $0.12(0)$.

Для дроби $\frac{1}{125}$:
Приведем дробь к знаменателю 1000, так как $125 = 5^3$:
$\frac{1}{125} = \frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000} = 0.008$.
В виде периодической дроби: $0.008 = 0.008(0)$.
Ответ: $0.008(0)$.

б)

Если в знаменателе несократимой дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь. Для нахождения ее вида выполним деление числителя на знаменатель в столбик.

Для дроби $\frac{1}{3}$:
При делении 1 на 3 столбиком, после получения 0 в целой части, мы постоянно будем делить 10 на 3, получая в частном 3 и в остатке 1. Процесс бесконечен, и цифра 3 повторяется.
$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333... = 0.(3)$.
Ответ: $0.(3)$.

Для дроби $\frac{2}{3}$:
При делении 2 на 3 столбиком, после получения 0 в целой части, мы постоянно будем делить 20 на 3, получая в частном 6 и в остатке 2. Процесс бесконечен, и цифра 6 повторяется.
$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0.666... = 0.(6)$.
Ответ: $0.(6)$.

Для дроби $\frac{1}{9}$:
При делении 1 на 9 получаем бесконечно повторяющуюся цифру 1 в частном, так как остаток всегда равен 1.
$\frac{1}{9} = 1 \div 9 = 0.111... = 0.(1)$.
Ответ: $0.(1)$.

Для дроби $\frac{2}{9}$:
При делении 2 на 9 получаем бесконечно повторяющуюся цифру 2 в частном, так как остаток всегда равен 2.
$\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0.222... = 0.(2)$.
Ответ: $0.(2)$.

Для дроби $\frac{5}{9}$:
Аналогично, при делении 5 на 9 получаем в периоде цифру 5.
$\frac{5}{9} = 5 \div 9 = 0.555... = 0.(5)$.
Ответ: $0.(5)$.

Для дроби $\frac{7}{9}$:
Аналогично, при делении 7 на 9 получаем в периоде цифру 7.
$\frac{7}{9} = 7 \div 9 = 0.777... = 0.(7)$.
Ответ: $0.(7)$.

Для дроби $\frac{1}{7}$:
Выполним деление 1 на 7 в столбик. Остатки при делении будут повторяться, что приведет к периодической дроби.
$1 \div 7$:
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
Поскольку остаток 1 повторился (это было начальное делимое), последовательность цифр в частном 142857 начнет повторяться. Это и есть период дроби.
$\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.(142857)$.
Ответ: $0.(142857)$.