Номер 1.8, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.8, страница 8.

1.8 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \pi $; 3,(14); $ 3\frac{1}{7} $; 3,141;

б) -5,6789101112...; $ -5\frac{2}{3} $; $ -5\frac{8}{9} $; -5,(7); -5,9.

а)

Чтобы расположить числа $π; 3,(14); 3\frac{1}{7}; 3,141$ в порядке возрастания, представим их в виде десятичных дробей и сравним.

1. $π$ (пи) — иррациональное число, его приближенное значение $π ≈ 3,14159...$

2. $3,(14)$ — периодическая десятичная дробь, которая равна $3,141414...$

3. $3\frac{1}{7}$ — смешанное число. Переведем дробную часть в десятичную дробь: $\frac{1}{7} = 1 : 7 ≈ 0,142857...$ Таким образом, $3\frac{1}{7} ≈ 3,142857...$

4. $3,141$ — конечная десятичная дробь, которую можно записать как $3,141000...$

Теперь сравним полученные десятичные дроби, выписав их одна под другой и сравнивая по разрядам:
$3,141 = 3,1410...$
$3,(14) = 3,1414...$
$π ≈ 3,1415...$
$3\frac{1}{7} ≈ 3,1428...$

Все числа имеют одинаковую целую часть (3) и первые два знака после запятой (14). Сравним по третьему знаку после запятой: у трех чисел это 1, а у числа $3\frac{1}{7}$ это 2. Следовательно, $3\frac{1}{7}$ — самое большое число.

Сравним оставшиеся три числа по четвертому знаку после запятой:
У $3,141$ он равен 0.
У $3,(14)$ он равен 4.
У $π$ он равен 5.

Поскольку $0 < 4 < 5$, то $3,141 < 3,(14) < π$.

Расположив все числа в порядке возрастания, получаем: $3,141 < 3,(14) < π < 3\frac{1}{7}$.

Ответ: $3,141; 3,(14); π; 3\frac{1}{7}$.

б)

Чтобы расположить отрицательные числа $-5,6789101112...; -5\frac{2}{3}; -5\frac{8}{9}; -5,(7); -5,9$ в порядке возрастания, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Найдем модули данных чисел и представим их в виде десятичных дробей:

1. $|-5,6789101112...| = 5,6789101112...$

2. $|-5\frac{2}{3}| = 5\frac{2}{3} = 5 + \frac{2}{3} = 5 + 0,(6) = 5,666...$

3. $|-5\frac{8}{9}| = 5\frac{8}{9} = 5 + \frac{8}{9} = 5 + 0,(8) = 5,888...$

4. $|-5,(7)| = 5,(7) = 5,777...$

5. $|-5,9| = 5,9 = 5,900...$

Теперь расположим модули в порядке возрастания, сравнивая их поразрядно:
$5,666...$ ($| -5\frac{2}{3} |$)
$5,6789...$ ($| -5,6789101112... |$)
$5,777...$ ($| -5,(7) |$)
$5,888...$ ($| -5\frac{8}{9} |$)
$5,900...$ ($| -5,9 |$)

Получаем следующий ряд для модулей: $|-5\frac{2}{3}| < |-5,6789101112...| < |-5,(7)| < |-5\frac{8}{9}| < |-5,9|$.

Так как исходные числа отрицательные, порядок их расположения будет обратным порядку возрастания их модулей. Самое маленькое число то, у которого самый большой модуль.

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $-5,9 < -5\frac{8}{9} < -5,(7) < -5,6789101112... < -5\frac{2}{3}$.

Ответ: $-5,9; -5\frac{8}{9}; -5,(7); -5,6789101112...; -5\frac{2}{3}$.