Номер 1.9, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.1. Понятие действительного числа - номер 1.9, страница 8.

Условие.

1.9° Верно ли, что каждой точке координатной оси соответствует действительное число и каждому действительному числу соответствует точка координатной оси?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1.9°

Да, данное утверждение абсолютно верно. Между множеством всех точек координатной оси и множеством всех действительных чисел ($ \mathbb{R} $) существует взаимно однозначное соответствие (биекция). Это означает, что:

• Каждой точке на координатной оси соответствует ровно одно действительное число.
• Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на координатной оси.

Рассмотрим оба аспекта этого соответствия.

1. Соответствие «точка → число»

Координатная ось — это прямая, на которой выбраны:

• Начало отсчета — точка $O$, которой сопоставлено число 0.
• Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу. Он задает масштаб.
• Положительное направление — направление от точки $O$, обычно обозначаемое стрелкой.

Для любой произвольной точки $M$ на этой оси мы можем найти ее координату. Координата — это действительное число, равное расстоянию от начала отсчета $O$ до точки $M$, измеренному в единицах масштаба. Знак этого числа определяется положением точки $M$ относительно начала отсчета: знак «$+$», если $M$ находится в положительном направлении от $O$, и знак «$-$», если в отрицательном. Таким образом, каждой точке, где бы она ни находилась, соответствует единственное действительное число.

2. Соответствие «число → точка»

Обратно, для любого действительного числа $x$ мы можем найти единственную точку на координатной оси.

• Если число $x$ положительное, мы откладываем от начала отсчета $O$ в положительном направлении отрезок длиной $x$. Конец этого отрезка и будет искомой точкой.
• Если число $x$ отрицательное, мы откладываем от начала отсчета $O$ в отрицательном направлении отрезок длиной $|x|$. Конец этого отрезка будет искомой точкой.
• Если число равно нулю, то ему соответствует само начало отсчета $O$.

Ключевым моментом здесь является аксиома полноты (или непрерывности) множества действительных чисел. Она гарантирует, что на числовой прямой нет «пропусков» или «дыр». Это значит, что не только для целых (например, -3, 0, 5) и рациональных (например, $1/2$, $-7/4$) чисел, но и для любого иррационального числа (например, $ \sqrt{2} $, $ \pi $, $ e $) существует соответствующая ему уникальная точка на оси.

Таким образом, координатная ось является идеальной геометрической моделью множества действительных чисел.

Ответ: Да, утверждение верно.