Номер 1.6, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.6, страница 8.

1.6° Как сравнивают действительные числа:

а) с помощью координатной прямой;

б) по их десятичной записи?

а) с помощью координатной прямой

Действительные числа можно представить точками на координатной (или числовой) прямой. Это прямая линия, на которой выбрана точка отсчета (ноль), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на этой прямой, и наоборот.

Сравнение двух действительных чисел $a$ и $b$ с помощью координатной прямой основано на их взаимном расположении.

• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит правее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ больше числа $b$. Это записывается как $a > b$.
• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит левее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ меньше числа $b$. Это записывается как $a < b$.
• Если точки, соответствующие числам $a$ и $b$, совпадают, то числа равны: $a = b$.

Например, так как точка с координатой 3 находится правее точки с координатой -1, то $3 > -1$. Так как точка с координатой -5 находится левее точки с координатой -2, то $-5 < -2$.

Ответ: Из двух действительных чисел большим является то, которое на координатной прямой изображается точкой, расположенной правее, а меньшим — то, которое изображается точкой, расположенной левее.

б) по их десятичной записи

Любое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби. Сравнение чисел по их десятичной записи производится по определенным правилам.

1. Сначала сравнивают знаки чисел. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Например, $0.001 > -1000$. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля.
2. Сравнение двух положительных чисел. Пусть даны два положительных числа $a$ и $b$. Их сравнивают поразрядно, двигаясь слева направо.
   • Сначала сравнивают их целые части. Большим будет то число, у которого целая часть больше. Например, в числах $15.7$ и $12.98$ целые части равны $15$ и $12$. Так как $15 > 12$, то $15.7 > 12.98$.
   • Если целые части равны, то сравнивают цифры в разряде десятых. Большим будет то число, у которого цифра в разряде десятых больше. Например, в числах $3.14$ и $3.21$ целые части равны. Сравниваем десятые: $1 < 2$, значит $3.14 < 3.21$.
   • Если равны и целые части, и цифры в разряде десятых, то переходят к сравнению сотых, затем тысячных и так далее, до тех пор пока не встретится первый разряд с несовпадающими цифрами. Большим будет то число, у которого соответствующая цифра больше. Например, сравним числа $0.333...$ (то есть $1/3$) и $0.34$. Целые части равны 0, десятые доли равны 3. Сравниваем сотые: $3 < 4$, значит $0.333... < 0.34$.
3. Сравнение двух отрицательных чисел. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Меньшим из двух отрицательных чисел является то, модуль которого больше. И наоборот, большим является то, модуль которого меньше. Например, чтобы сравнить $-7.5$ и $-7.4$, сравним их модули: $|-7.5| = 7.5$ и $|-7.4| = 7.4$. Так как $7.5 > 7.4$, то $-7.5 < -7.4$.

Ответ: Для сравнения двух действительных чисел по их десятичной записи сначала сравнивают их знаки. Если знаки разные, то положительное число всегда больше отрицательного. Если числа положительные, их сравнивают поразрядно слева направо, начиная с целой части; большим будет то число, у которого первая из различающихся цифр больше. Если числа отрицательные, то большим является то, модуль которого меньше.