Номер 1.5, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.5, страница 8.

1.5* Представьте каждую периодическую дробь в виде обыкновен- ной дроби:

a) $0,(3)$; $0,(1)$; $0,(5)$; $0,(7)$;

б) $0,(13)$; $0,(27)$; $0,(45)$; $0,(54)$;

в) $0,(128)$; $0,(123)$; $0,(945)$; $0,(138)$;

г) $0,0(3)$; $0,0(72)$; $0,00(13)$; $0,0(549)$;

д) $2,(8)$; $3,(14)$; $7,(12)$; $3,0(27)$;

е) $0,12(0)$; $3,37(0)$; $0,005(0)$.

а) Для преобразования чистой периодической дроби в обыкновенную необходимо в числитель записать её период, а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде.

• $0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
• $0,(1) = \frac{1}{9}$
• $0,(5) = \frac{5}{9}$
• $0,(7) = \frac{7}{9}$

Ответ: $0,(3) = \frac{1}{3}$; $0,(1) = \frac{1}{9}$; $0,(5) = \frac{5}{9}$; $0,(7) = \frac{7}{9}$.

б) Используем то же правило, что и в пункте а). Период состоит из двух цифр, поэтому в знаменателе будет 99.

• $0,(13) = \frac{13}{99}$
• $0,(27) = \frac{27}{99} = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$
• $0,(45) = \frac{45}{99} = \frac{45 \div 9}{99 \div 9} = \frac{5}{11}$
• $0,(54) = \frac{54}{99} = \frac{54 \div 9}{99 \div 9} = \frac{6}{11}$

Ответ: $0,(13) = \frac{13}{99}$; $0,(27) = \frac{3}{11}$; $0,(45) = \frac{5}{11}$; $0,(54) = \frac{6}{11}$.

в) Период состоит из трех цифр, поэтому в знаменателе будет 999.

• $0,(128) = \frac{128}{999}$
• $0,(123) = \frac{123}{999} = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}$
• $0,(945) = \frac{945}{999} = \frac{945 \div 9}{999 \div 9} = \frac{105}{111} = \frac{105 \div 3}{111 \div 3} = \frac{35}{37}$
• $0,(138) = \frac{138}{999} = \frac{138 \div 3}{999 \div 3} = \frac{46}{333}$

Ответ: $0,(128) = \frac{128}{999}$; $0,(123) = \frac{41}{333}$; $0,(945) = \frac{35}{37}$; $0,(138) = \frac{46}{333}$.

г) Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную, нужно из числа, стоящего после запятой до конца первого периода, вычесть число, стоящее после запятой до начала периода. Эта разность будет числителем. Знаменатель будет состоять из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей справа, сколько цифр между запятой и периодом.

• $0,0(3)$: Числитель: $03 - 0 = 3$. В периоде 1 цифра, до периода 1 цифра. Знаменатель: 90. Получаем $\frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.
• $0,0(72)$: Числитель: $072 - 0 = 72$. В периоде 2 цифры, до периода 1 цифра. Знаменатель: 990. Получаем $\frac{72}{990} = \frac{72 \div 18}{990 \div 18} = \frac{4}{55}$.
• $0,00(13)$: Числитель: $0013 - 00 = 13$. В периоде 2 цифры, до периода 2 цифры. Знаменатель: 9900. Получаем $\frac{13}{9900}$.
• $0,0(549)$: Числитель: $0549 - 0 = 549$. В периоде 3 цифры, до периода 1 цифра. Знаменатель: 9990. Получаем $\frac{549}{9990} = \frac{549 \div 9}{9990 \div 9} = \frac{61}{1110}$.

Ответ: $0,0(3) = \frac{1}{30}$; $0,0(72) = \frac{4}{55}$; $0,00(13) = \frac{13}{9900}$; $0,0(549) = \frac{61}{1110}$.

д) Для дробей, имеющих целую часть, мы представляем их в виде суммы целой части и дробной части, а затем преобразуем дробную часть в обыкновенную дробь по известным правилам.

• $2,(8) = 2 + 0,(8) = 2 + \frac{8}{9} = \frac{18}{9} + \frac{8}{9} = \frac{26}{9}$.
• $3,(14) = 3 + 0,(14) = 3 + \frac{14}{99} = \frac{3 \cdot 99 + 14}{99} = \frac{297 + 14}{99} = \frac{311}{99}$.
• $7,(12) = 7 + 0,(12) = 7 + \frac{12}{99} = 7 + \frac{4}{33} = \frac{7 \cdot 33 + 4}{33} = \frac{231 + 4}{33} = \frac{235}{33}$.
• $3,0(27) = 3 + 0,0(27) = 3 + \frac{27-0}{990} = 3 + \frac{27}{990} = 3 + \frac{3}{110} = \frac{3 \cdot 110 + 3}{110} = \frac{330+3}{110} = \frac{333}{110}$.

Ответ: $2,(8) = \frac{26}{9}$; $3,(14) = \frac{311}{99}$; $7,(12) = \frac{235}{33}$; $3,0(27) = \frac{333}{110}$.

е) Периодическая дробь с периодом (0) является конечной десятичной дробью. Запись вида $a,(0)$ означает, что после цифры $a$ следуют бесконечное число нулей, что не меняет значения дроби.

• $0,12(0) = 0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$
• $3,37(0) = 3,37 = 3 + \frac{37}{100} = \frac{337}{100}$
• $0,005(0) = 0,005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}$

Ответ: $0,12(0) = \frac{3}{25}$; $3,37(0) = \frac{337}{100}$; $0,005(0) = \frac{1}{200}$.