Страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1° Какие числа называют:

а) натуральными;

б) целыми;

в) рациональными;

г) иррациональными;

д) действительными?

а) натуральными

Натуральными числами называют числа, которые возникают естественным образом при счете предметов. Это числа 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой $N$. Таким образом, $N = \{1, 2, 3, ...\}$. В некоторых математических традициях к натуральным числам причисляют и ноль (0), однако в российском школьном курсе математики принято считать натуральные числа начиная с единицы.

Ответ: числа, используемые для счета предметов (1, 2, 3, ...).

б) целыми

Целыми числами называют объединение множества натуральных чисел ($N$), числа ноль (0) и множества отрицательных чисел, противоположных натуральным (..., -3, -2, -1). Множество целых чисел обозначается символом $Z$. Таким образом, $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел.

Ответ: натуральные числа, им противоположные числа и число 0.

в) рациональными

Рациональными числами называют все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in N$). Множество рациональных чисел обозначается символом $Q$. Любое целое число является рациональным, так как его можно записать в виде дроби со знаменателем 1 (например, $5 = \frac{5}{1}$). Рациональные числа также могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей (например, $0.25 = \frac{1}{4}$) или бесконечных периодических десятичных дробей (например, $0.(3) = \frac{1}{3}$).

Ответ: числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

г) иррациональными

Иррациональными числами называют числа, которые не являются рациональными, то есть их невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z$ и $n \in N$. В виде десятичной дроби иррациональные числа представляются как бесконечные непериодические дроби. Известными примерами иррациональных чисел являются число пи ($\pi \approx 3.1415926...$), корень из двух ($\sqrt{2} \approx 1.4142135...$), число Эйлера ($e \approx 2.7182818...$).

Ответ: действительные числа, не являющиеся рациональными; представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

д) действительными

Действительными (или вещественными) числами называют объединение множества всех рациональных чисел ($Q$) и множества всех иррациональных чисел. Множество действительных чисел обозначается символом $R$. Это множество включает в себя все числа, которые можно отметить на числовой прямой. Каждой точке на числовой прямой соответствует уникальное действительное число, и наоборот.

Ответ: объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

1.2 Может ли:

а) разность отрицательных чисел быть положительным числом;

б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом;

в) произведение иррациональных чисел быть рациональным числом?

а) разность отрицательных чисел быть положительным числом;

Да, может. Разность двух чисел $a$ и $b$ — это выражение $a - b$. Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа, то есть $a < 0$ и $b < 0$. Чтобы их разность была положительным числом, должно выполняться условие $a - b > 0$, что равносильно $a > b$.

Таким образом, если из большего отрицательного числа вычесть меньшее отрицательное число, результат будет положительным. Приведем пример. Возьмем два отрицательных числа: $a = -3$ и $b = -10$. Оба числа отрицательные, и при этом $-3 > -10$.

Вычислим их разность:

$a - b = (-3) - (-10) = -3 + 10 = 7$.

Число $7$ является положительным. Следовательно, разность отрицательных чисел может быть положительным числом.

Ответ: да, может.

б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом;

Да, может. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Чтобы сумма двух иррациональных чисел была рациональным числом, можно подобрать такие числа, у которых иррациональные части взаимно уничтожаются.

Рассмотрим классический пример с иррациональным числом $\sqrt{2}$.

Пусть первое число $a = \sqrt{2}$ (иррациональное), а второе число $b = -\sqrt{2}$ (также иррациональное).

Их сумма будет равна:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Число $0$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $0/1$.

Другой пример: пусть $a = 5 - \sqrt{3}$ и $b = 1 + \sqrt{3}$. Оба этих числа являются иррациональными. Их сумма:

$a + b = (5 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 5 + 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 6$.

Число $6$ — рациональное.

Ответ: да, может.

в) произведение иррациональных чисел быть рациональным числом?

Да, может. Как и в случае с суммой, можно найти такие иррациональные числа, произведение которых будет рациональным.

Возьмем иррациональное число $\sqrt{5}$.

Пусть оба сомножителя равны этому числу: $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{5}$.

Найдем их произведение:

$a \cdot b = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Число $5$ является рациональным (его можно записать как $5/1$).

Другой пример: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{8}$. Оба числа иррациональны, так как $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Их произведение:

$a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$.

Число $4$ — рациональное.

Ответ: да, может.