Страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.19* Докажите, что каждое из чисел $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{2}$ иррациональное.

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3}$

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что число $\sqrt{3}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Из предположения $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ путем возведения обеих частей в квадрат получаем $3 = \frac{p^2}{q^2}$, откуда следует $p^2 = 3q^2$.

Равенство $p^2 = 3q^2$ показывает, что $p^2$ делится нацело на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа ($p^2$) делится на 3, то и само число ($p$) должно делиться на 3. Следовательно, $p$ можно представить в виде $p = 3k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это выражение для $p$ обратно в уравнение:
$(3k)^2 = 3q^2$
$9k^2 = 3q^2$
$q^2 = 3k^2$

Из последнего равенства $q^2 = 3k^2$ следует, что $q^2$ также делится нацело на 3, а значит, и само число $q$ делится на 3.

Таким образом, мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 3. Это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt{3}$ было неверным.

Ответ: Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно, следовательно, число $\sqrt{3}$ иррациональное.

Доказательство иррациональности числа $\sqrt[3]{2}$

Доказательство проведем аналогично, методом от противного. Предположим, что число $\sqrt[3]{2}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, и НОД$(p, q) = 1$.

Из предположения $\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}$ путем возведения обеих частей в куб получаем $2 = \frac{p^3}{q^3}$, откуда следует $p^3 = 2q^3$.

Равенство $p^3 = 2q^3$ показывает, что $p^3$ является четным числом (делится на 2). Если куб целого числа является четным, то и само число является четным (так как куб нечетного числа всегда нечетен). Следовательно, $p$ — четное число, и его можно представить в виде $p = 2k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это выражение для $p$ обратно в уравнение:
$(2k)^3 = 2q^3$
$8k^3 = 2q^3$
$q^3 = 4k^3$

Из последнего равенства $q^3 = 4k^3$ следует, что $q^3$ делится на 4, а значит, является четным числом. Следовательно, само число $q$ также должно быть четным.

Мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются четными числами, то есть оба делятся на 2. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима (НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{2}$ было неверным.

Ответ: Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно, следовательно, число $\sqrt[3]{2}$ иррациональное.

1.20 Дан квадрат со стороной 1 см. Верно ли, что существует действительное число, выражающее длину диагонали этого квадрата? Какое это число — рациональное или иррациональное?

Верно ли, что существует действительное число, выражающее длину диагонали этого квадрата?

Да, это утверждение верно. Рассмотрим квадрат со стороной $a = 1$ см. Диагональ этого квадрата, обозначим ее $d$, делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны квадрата являются катетами этих треугольников, а диагональ – их общей гипотенузой.

Для нахождения длины гипотенузы можно воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

В нашем случае оба катета равны стороне квадрата $a$, а гипотенуза равна диагонали $d$. Формула принимает вид: $a^2 + a^2 = d^2$

Подставим в формулу значение стороны квадрата $a = 1$ см: $1^2 + 1^2 = d^2$ $1 + 1 = d^2$ $d^2 = 2$

Поскольку длина диагонали является положительной величиной, извлечем арифметический квадратный корень из обеих частей уравнения: $d = \sqrt{2}$ см.

Число $\sqrt{2}$ является действительным (вещественным) числом. Следовательно, существует действительное число, которое выражает длину диагонали данного квадрата.

Ответ: Да, верно.

Какое это число — рациональное или иррациональное?

Мы установили, что длина диагонали квадрата со стороной 1 см равна $\sqrt{2}$ см. Теперь необходимо определить, является ли число $\sqrt{2}$ рациональным или иррациональным.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Число, которое нельзя представить в таком виде, называется иррациональным.

Чтобы определить тип числа $\sqrt{2}$, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби:

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, не имеющие общих делителей, кроме 1.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = (\frac{p}{q})^2$ $2 = \frac{p^2}{q^2}$

Умножим обе части на $q^2$: $2q^2 = p^2$

Из этого уравнения следует, что $p^2$ — четное число, так как оно является произведением числа 2 и целого числа $q^2$. Если квадрат целого числа ($p^2$) является четным, то и само число ($p$) также должно быть четным. (Квадрат нечетного числа всегда нечетен).

Поскольку $p$ — четное число, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в уравнение $2q^2 = p^2$:

$2q^2 = (2k)^2$ $2q^2 = 4k^2$

Разделим обе части на 2: $q^2 = 2k^2$

Аналогично, из этого равенства следует, что $q^2$ — четное число, а значит и само число $q$ тоже является четным.

Мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ нашей дроби являются четными числами. Но это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (ведь если оба числа четные, дробь можно сократить как минимум на 2). Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt{2}$ было неверным.

Следовательно, число $\sqrt{2}$ не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$ и является иррациональным.

Ответ: Иррациональное.