Страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.29* Докажите, что отрезки $[\\sqrt{2} - \\frac{1}{n}; \\sqrt{2} + \\frac{1}{n}]$ $(n \\in N, n \\to +\\infty)$ вложенные. Имеют ли они общую точку? Если да, то какому числу она соответствует — рациональному или иррациональному?

Доказательство вложенности отрезков

Обозначим последовательность отрезков как $I_n = [a_n, b_n]$, где $a_n = \sqrt{2} - \frac{1}{n}$ и $b_n = \sqrt{2} + \frac{1}{n}$ для $n \in \mathbb{N}$. Для того чтобы доказать, что отрезки являются вложенными, необходимо показать, что для любого натурального $n$ выполняется включение $I_{n+1} \subset I_n$. Это равносильно выполнению двух условий: $a_n \le a_{n+1}$ и $b_{n+1} \le b_n$.

1. Сравним левые концы отрезков $a_n = \sqrt{2} - \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \sqrt{2} - \frac{1}{n+1}$. Поскольку для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $n < n+1$, то для обратных величин справедливо $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$. Умножив обе части на $-1$, мы сменим знак неравенства: $-\frac{1}{n} < -\frac{1}{n+1}$. Прибавив к обеим частям $\sqrt{2}$, получим: $\sqrt{2} - \frac{1}{n} < \sqrt{2} - \frac{1}{n+1}$. Следовательно, $a_n < a_{n+1}$, то есть последовательность левых концов монотонно возрастает.

2. Сравним правые концы отрезков $b_n = \sqrt{2} + \frac{1}{n}$ и $b_{n+1} = \sqrt{2} + \frac{1}{n+1}$. Используя уже известное нам неравенство $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$, прибавим к обеим частям $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} + \frac{1}{n} > \sqrt{2} + \frac{1}{n+1}$. Следовательно, $b_n > b_{n+1}$, то есть последовательность правых концов монотонно убывает.

Так как $a_n < a_{n+1}$ и $b_{n+1} < b_n$, то для любого $n$ отрезок $[a_{n+1}, b_{n+1}]$ содержится внутри отрезка $[a_n, b_n]$. Таким образом, доказываемая последовательность отрезков является вложенной.

Ответ: Отрезки являются вложенными, так как последовательность их левых концов $a_n = \sqrt{2} - \frac{1}{n}$ монотонно возрастает, а последовательность правых концов $b_n = \sqrt{2} + \frac{1}{n}$ монотонно убывает, и для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n < b_n$.

Наличие общей точки

Согласно принципу вложенных отрезков Кантора, всякая последовательность вложенных замкнутых непустых отрезков числовой прямой имеет непустое пересечение. Так как отрезки $I_n = [\sqrt{2} - \frac{1}{n}; \sqrt{2} + \frac{1}{n}]$ замкнуты, непусты и, как мы доказали, являются вложенными, они имеют как минимум одну общую точку.

Более того, если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна. Найдем длину отрезка $I_n$: $L_n = b_n - a_n = (\sqrt{2} + \frac{1}{n}) - (\sqrt{2} - \frac{1}{n}) = \frac{2}{n}$.

Найдем предел длины при $n \to \infty$: $\lim_{n\to\infty} L_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} = 0$.

Поскольку предел длины отрезков равен нулю, пересечение всех отрезков последовательности состоит из единственной точки.

Ответ: Да, данные отрезки имеют общую точку, и эта точка единственна.

Определение числа и его типа

Единственная общая точка $c$ данной системы вложенных отрезков равна общему пределу последовательностей ее концов: $c = \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{2} - \frac{1}{n}) = \sqrt{2}$. $c = \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{2} + \frac{1}{n}) = \sqrt{2}$. Следовательно, общая точка — это число $\sqrt{2}$.

Определим, является ли $\sqrt{2}$ рациональным или иррациональным числом. Докажем методом от противного, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Предположим, что $\sqrt{2}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. $\sqrt{2} = \frac{p}{q} \implies 2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$. Из этого равенства следует, что $p^2$ является четным числом. Если квадрат целого числа четен, то и само число четно. Значит, $p$ — четное. Пусть $p = 2k$ для некоторого целого $k$. Подставим это выражение в $p^2 = 2q^2$: $(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$. Это означает, что $q^2$ также четное число, а значит и $q$ — четное. Получается, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются четными числами. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Следовательно, исходное предположение неверно, и число $\sqrt{2}$ не является рациональным. Оно иррационально.

Ответ: Общая точка отрезков соответствует числу $\sqrt{2}$, которое является иррациональным числом.