Номер 1.17, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.17, страница 9.

1.17* Решите уравнение:

a) $||x|-2|=10$;

б) $||x|-9|=7$.

а) $||x| - 2| = 10$

Данное уравнение с двойным модулем решается путем последовательного раскрытия модулей, начиная с внешнего. Уравнение вида $|A| = b$, где $b \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

В нашем случае, выражение под внешним модулем — это $|x| - 2$. Следовательно, уравнение распадается на два случая:

1) $|x| - 2 = 10$

2) $|x| - 2 = -10$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решим первое уравнение:

$|x| - 2 = 10$

$|x| = 10 + 2$

$|x| = 12$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 12$ и $x_2 = -12$.

2) Решим второе уравнение:

$|x| - 2 = -10$

$|x| = -10 + 2$

$|x| = -8$

Данное уравнение не имеет решений, так как модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$).

Таким образом, решения исходного уравнения — это только решения из первого случая.

Ответ: $-12; 12$.

б) $||x| - 9| = 7$

Решаем аналогично пункту а), раскрывая внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $|x| - 9 = 7$

2) $|x| - 9 = -7$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решим первое уравнение:

$|x| - 9 = 7$

$|x| = 7 + 9$

$|x| = 16$

Отсюда получаем два решения: $x_1 = 16$ и $x_2 = -16$.

2) Решим второе уравнение:

$|x| - 9 = -7$

$|x| = -7 + 9$

$|x| = 2$

Отсюда получаем еще два решения: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Объединив все найденные корни из обоих случаев, получаем четыре решения исходного уравнения.

Ответ: $-16; -2; 2; 16$.