Номер 1.18, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.18, страница 9.

1.18* а) Докажите, что расстояние между точками A ($x_1$) и B ($x_2$) вычисляется по формуле AB = $|x_1 - x_2|$.

б) Докажите, что расстояние между точками A ($x_1$; $y_1$) и B ($x_2$; $y_2$) вычисляется по формуле

$AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

в) Докажите, что координата точки C ($x$) — середины отрезка AB, где A ($x_1$) и B ($x_2$), вычисляется по формуле $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

г) Докажите, что координаты точки C ($x$; $y$) — середины отрезка AB, где A ($x_1$; $y_1$) и B ($x_2$; $y_2$), вычисляются по формулам

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$; $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

д) Докажите, что если точка C ($x$) принадлежит отрезку AB, где A ($x_1$) и B ($x_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координата точки C вычисляется по формуле

$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.

е) Докажите, что если точка C ($x$; $y$) принадлежит отрезку AB, где A ($x_1$; $y_1$) и B ($x_2$; $y_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координаты точки C вычисляются по формулам: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$; $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$.

а) Докажите, что расстояние между точками A($x_1$) и B($x_2$) вычисляется по формуле $AB = |x_1 - x_2|$.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это длина отрезка, соединяющего эти точки. Длина отрезка всегда является неотрицательной величиной. Рассмотрим два возможных случая расположения точек A($x_1$) и B($x_2$) на прямой.

1. Пусть координата точки A больше или равна координате точки B, то есть $x_1 \geq x_2$. Тогда расстояние $AB$ по определению равно разности большей и меньшей координат: $AB = x_1 - x_2$. В этом случае выражение $x_1 - x_2$ неотрицательно, поэтому по определению модуля $|x_1 - x_2| = x_1 - x_2$.

2. Пусть координата точки A меньше координаты точки B, то есть $x_1 < x_2$. Тогда расстояние $AB$ равно $x_2 - x_1$. В этом случае выражение $x_1 - x_2$ отрицательно, и по определению модуля $|x_1 - x_2| = -(x_1 - x_2) = x_2 - x_1$.

В обоих случаях расстояние $AB$ совпадает со значением выражения $|x_1 - x_2|$. Таким образом, формула доказана.

Ответ: $AB = |x_1 - x_2|$

б) Докажите, что расстояние между точками A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) вычисляется по формуле $AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

Рассмотрим точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) в декартовой системе координат. Построим прямоугольный треугольник, для которого отрезок AB является гипотенузой. Для этого проведем через точку A прямую, параллельную оси Oy, а через точку B — прямую, параллельную оси Ox. Пусть эти прямые пересекаются в точке C. Координаты точки C будут ($x_1$; $y_2$).

Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C. Длины катетов AC и BC можно найти как расстояние между точками, лежащими на прямых, параллельных осям координат.

Длина катета AC, параллельного оси Oy, равна расстоянию между точками A($x_1$; $y_1$) и C($x_1$; $y_2$), которое составляет $|y_1 - y_2|$.
Длина катета BC, параллельного оси Ox, равна расстоянию между точками B($x_2$; $y_2$) и C($x_1$; $y_2$), которое составляет $|x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
Подставим длины катетов: $AB^2 = (|y_1 - y_2|)^2 + (|x_1 - x_2|)^2$.

Поскольку квадрат модуля числа равен квадрату самого числа ($|a|^2 = a^2$), мы можем записать: $AB^2 = (y_1 - y_2)^2 + (x_1 - x_2)^2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей (и учитывая, что расстояние $AB$ не может быть отрицательным), получаем искомую формулу.

Ответ: $AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

в) Докажите, что координата точки C(x) — середины отрезка AB, где A($x_1$) и B($x_2$), вычисляется по формуле $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Если точка C(x) является серединой отрезка AB, то она равноудалена от его концов, то есть расстояние $AC$ равно расстоянию $CB$.

Используя формулу расстояния на прямой из пункта а), имеем: $AC = |x - x_1|$ и $CB = |x_2 - x|$.
Следовательно, $|x - x_1| = |x_2 - x|$.

Поскольку точка C лежит между A и B, ее координата $x$ находится между $x_1$ и $x_2$. Пусть, для определенности, $x_1 < x_2$, тогда $x_1 < x < x_2$. В этом случае $x - x_1 > 0$ и $x_2 - x > 0$, поэтому модули можно опустить: $x - x_1 = x_2 - x$.
Решим это уравнение относительно $x$:
$2x = x_1 + x_2$
$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
(Если бы мы предположили $x_2 < x_1$, то получили бы $-(x - x_1) = -(x_2 - x)$, что привело бы к тому же результату).

Ответ: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

г) Докажите, что координаты точки C(x; y) — середины отрезка AB, где A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), вычисляются по формулам $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$; $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть даны точки A($x_1$; $y_1$), B($x_2$; $y_2$) и C(x; y) — середина отрезка AB. Спроецируем эти точки на оси координат.

Проекциями точек A, B и C на ось Ox будут точки $A_x(x_1; 0)$, $B_x(x_2; 0)$ и $C_x(x; 0)$ соответственно. По теореме Фалеса (о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой прямой. Так как C — середина AB, то ее проекция $C_x$ будет серединой отрезка $A_x B_x$.

Используя формулу для середины отрезка на прямой из пункта в), находим абсциссу точки C: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Аналогично, проекциями точек A, B и C на ось Oy будут точки $A_y(0; y_1)$, $B_y(0; y_2)$ и $C_y(0; y)$. Точка $C_y$ будет серединой отрезка $A_y B_y$. Находим ординату точки C: $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Ответ: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}; y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

д) Докажите, что если точка C(x) принадлежит отрезку AB, где A($x_1$) и B($x_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координата точки C вычисляется по формуле $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.

По условию, точка C(x) делит отрезок AB в отношении $AC : CB = m : n$. Это можно записать в виде пропорции $\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}$, откуда $n \cdot AC = m \cdot CB$.

Длины отрезков равны $AC = |x - x_1|$ и $CB = |x_2 - x|$. Поскольку C лежит на отрезке AB, предположим, что $x_1 < x_2$. Тогда $x_1 < x < x_2$, и мы можем убрать знаки модуля: $AC = x - x_1$ и $CB = x_2 - x$.

Подставим эти выражения в равенство: $n(x - x_1) = m(x_2 - x)$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$nx - nx_1 = mx_2 - mx$
$nx + mx = nx_1 + mx_2$
$x(n + m) = nx_1 + mx_2$
$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.
Формула доказана (случай $x_2 < x_1$ рассматривается аналогично и приводит к тому же результату).

Ответ: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}$

е) Докажите, что если точка C(x; y) принадлежит отрезку AB, где A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координаты точки C вычисляются по формулам: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$; $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$.

Пусть точка C(x; y) делит отрезок AB в отношении $AC : CB = m : n$. Спроецируем точки A, B, C на координатные оси.

Проекциями точек A, B и C на ось Ox являются точки $A_x(x_1; 0)$, $B_x(x_2; 0)$ и $C_x(x; 0)$. По обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. Следовательно, точка $C_x$ делит отрезок $A_x B_x$ в том же отношении: $A_x C_x : C_x B_x = m : n$.

Используя формулу из пункта д) для деления отрезка на прямой, находим абсциссу точки C: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.

Аналогично, спроецировав точки на ось Oy, получим, что точка $C_y(0; y)$ делит отрезок $A_y B_y$ (с концами $A_y(0; y_1)$ и $B_y(0; y_2)$) в отношении $m : n$. Отсюда находим ординату точки C: $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$.

Ответ: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}; y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$