Номер 1.24, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.24, страница 15.

1.24 Изобразите на координатной оси числовые промежутки A и B, найдите их объединение и пересечение, если:

а) $A = [-3; 4]$, $B = [0; 7)$;

б) $A = (-\infty; 0)$, $B = (-3; 7]$;

в) $A = (-\infty; 2]$, $B = [2; 5)$;

г) $A = (-7; 2)$, $B = [0; 7)$;

д) $A = [-2; 0)$, $B = (0; 2]$;

е) $A = (-5; 0]$, $B = (-1; 3]$.

а) Даны числовые промежутки $A = [-3; 4]$ и $B = [0; 7)$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ представляет собой отрезок от -3 до 4. Так как скобки квадратные, обе граничные точки, -3 и 4, включаются в промежуток и на оси отмечаются закрашенными точками. Промежуток $B$ — это полуинтервал от 0 до 7. Точка 0 включается (квадратная скобка) и отмечается закрашенной точкой, а точка 7 не включается (круглая скобка) и отмечается выколотой (пустой) точкой.
Объединение ($A \cup B$): Объединением является множество всех точек, принадлежащих хотя бы одному из промежутков. Оно охватывает все числа от наименьшего значения в обоих множествах (это -3 из $A$) до наибольшего (это 7 из $B$). Точка -3 входит в промежуток $A$, а значит, и в объединение. Точка 7 не входит в промежуток $B$ и не входит в $A$, поэтому она не входит и в объединение. Таким образом, $A \cup B = [-3; 7)$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечением является множество всех точек, принадлежащих обоим промежуткам одновременно. На координатной оси это общая, заштрихованная для обоих промежутков, часть. Эта часть начинается в точке 0 и заканчивается в точке 4. Точка 0 входит в оба промежутка, точка 4 также входит в оба промежутка. Таким образом, $A \cap B = [0; 4]$.
Ответ: Объединение $A \cup B = [-3; 7)$. Пересечение $A \cap B = [0; 4]$.

б) Даны числовые промежутки $A = (-\infty; 0)$ и $B = (-3; 7]$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это открытый луч, идущий от 0 влево до минус бесконечности; точка 0 не включается и отмечается выколотой точкой. Промежуток $B$ — это полуинтервал от -3 до 7; точка -3 не включается (выколотая точка), а точка 7 включается (закрашенная точка).
Объединение ($A \cup B$): Объединение включает все числа из обоих промежутков. Оно начинается от минус бесконечности (из промежутка $A$) и простирается до 7 (из промежутка $B$), включая эту точку. Таким образом, $A \cup B = (-\infty; 7]$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть двух промежутков. Они пересекаются на интервале от -3 до 0. Точка -3 не входит в $B$, поэтому не входит в пересечение. Точка 0 не входит в $A$, поэтому также не входит в пересечение. Таким образом, $A \cap B = (-3; 0)$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-\infty; 7]$. Пересечение $A \cap B = (-3; 0)$.

в) Даны числовые промежутки $A = (-\infty; 2]$ и $B = [2; 5)$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это замкнутый луч, идущий от 2 влево до минус бесконечности, включая точку 2 (закрашенная точка). Промежуток $B$ — это полуинтервал от 2 до 5, включая 2 (закрашенная точка), но не включая 5 (выколотая точка).
Объединение ($A \cup B$): Промежутки "стыкуются" в точке 2, которая принадлежит обоим. Объединение представляет собой непрерывный луч от минус бесконечности до 5. Точка 5 не включается. Таким образом, $A \cup B = (-\infty; 5)$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть. Единственная точка, которая принадлежит одновременно и промежутку $A$, и промежутку $B$, — это точка 2. Таким образом, пересечение состоит из одного элемента. $A \cap B = \{2\}$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-\infty; 5)$. Пересечение $A \cap B = \{2\}$.

г) Даны числовые промежутки $A = (-7; 2)$ и $B = [0; 7)$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это интервал от -7 до 2, не включая концы (обе точки выколотые). Промежуток $B$ — это полуинтервал от 0 до 7, включая 0 (закрашенная точка), но не включая 7 (выколотая точка).
Объединение ($A \cup B$): Объединение — это промежуток от наименьшего значения (-7) до наибольшего (7). Точка -7 не включается (из $A$), точка 7 также не включается (из $B$). Таким образом, $A \cup B = (-7; 7)$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть. Промежутки перекрываются от 0 до 2. Точка 0 входит в $B$ и в $A$ (т.к. $-7 < 0 < 2$), поэтому она входит в пересечение. Точка 2 не входит в $A$, поэтому не входит в пересечение. Таким образом, $A \cap B = [0; 2)$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-7; 7)$. Пересечение $A \cap B = [0; 2)$.

д) Даны числовые промежутки $A = [-2; 0)$ и $B = (0; 2]$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это полуинтервал от -2 до 0, включая -2 (закрашенная точка), но не включая 0 (выколотая точка). Промежуток $B$ — это полуинтервал от 0 до 2, не включая 0 (выколотая точка), но включая 2 (закрашенная точка). Между ними есть "разрыв" в точке 0.
Объединение ($A \cup B$): Объединение включает все числа из $A$ и все числа из $B$. Это все числа от -2 (включительно) до 2 (включительно), за исключением точки 0, которая не принадлежит ни одному из промежутков. Такое объединение записывается как два отдельных промежутка: $A \cup B = [-2; 0) \cup (0; 2]$.
Пересечение ($A \cap B$): Промежутки не имеют общих точек. Левый промежуток ($A$) содержит числа, строго меньшие 0, а правый ($B$) — строго большие 0. Таким образом, их пересечение является пустым множеством. $A \cap B = \emptyset$.
Ответ: Объединение $A \cup B = [-2; 0) \cup (0; 2]$. Пересечение $A \cap B = \emptyset$.

е) Даны числовые промежутки $A = (-5; 0]$ и $B = (-1; 3]$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это полуинтервал от -5 до 0, не включая -5 (выколотая точка), но включая 0 (закрашенная точка). Промежуток $B$ — это полуинтервал от -1 до 3, не включая -1 (выколотая точка), но включая 3 (закрашенная точка).
Объединение ($A \cup B$): Объединение — это промежуток от наименьшего значения (-5) до наибольшего (3). Точка -5 не включается (из $A$). Точка 3 включается (из $B$). Таким образом, $A \cup B = (-5; 3]$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть. Промежутки перекрываются от -1 до 0. Точка -1 не входит в $B$, поэтому не входит в пересечение. Точка 0 входит и в $A$, и в $B$ (т.к. $-1 < 0 \le 3$), поэтому входит в пересечение. Таким образом, $A \cap B = (-1; 0]$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-5; 3]$. Пересечение $A \cap B = (-1; 0]$.