Номер 3.57, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.57, страница 110.

3.57 а) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500});$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125});$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9};$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}.$

а) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500})$

Для решения данного выражения сначала раскроем скобки, умножив $\sqrt[3]{2}$ на каждый член в скобках. При умножении корней одинаковой степени используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500}) = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500}$

Применяем свойство произведения корней:

$\sqrt[3]{2 \cdot 4} + \sqrt[3]{2 \cdot 500} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1000}$

Теперь вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt[3]{1000} = 10$

Складываем полученные результаты:

$2 + 10 = 12$

Ответ: $12$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125})$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Как и в предыдущем примере, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125}) = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}$

Применяем свойство произведения корней:

$\sqrt[4]{5 \cdot 2000} - \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{10000} - \sqrt[4]{625}$

Теперь вычислим значения корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4 = 10000$.

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

Выполняем вычитание:

$10 - 5 = 5$

Ответ: $5$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для объединения выражений под один корень.

$\sqrt[3]{0,81 \cdot 0,9} = \sqrt[3]{0,729}$

Чтобы найти значение корня, вспомним, что $9^3 = 729$. Следовательно, $(0,9)^3 = 0,729$.

$\sqrt[3]{0,729} = \sqrt[3]{(0,9)^3} = 0,9$

Ответ: $0,9$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}$

Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{8 \cdot 1250} = \sqrt[4]{10000}$

Теперь необходимо извлечь корень четвертой степени. Мы знаем, что $10^4 = 10000$.

$\sqrt[4]{10000} = 10$

Ответ: $10$