Номер 3.60, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.60, страница 110.

3.60 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt[3]{40}$;

б) $\sqrt[5]{-64}$;

в) $\sqrt[5]{-96}$;

г) $\sqrt[3]{54}$;

д) $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$;

е) $\sqrt[3]{\frac{27}{4}}$;

ж) $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}}$;

з) $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}}$;

и) $\sqrt[4]{32}$;

к) $\sqrt[4]{243}$;

л) $\sqrt[4]{1296}$;

м) $\sqrt[4]{50625}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня из 40, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом. Число 40 можно представить как $8 \cdot 5$, где $8 = 2^3$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{5}$

б) Для вынесения множителя из-под знака корня пятой степени из -64, воспользуемся тем, что корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен: $\sqrt[5]{-64} = -\sqrt[5]{64}$. Разложим 64 на множители, выделив множитель в пятой степени: $64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2$.
$-\sqrt[5]{64} = -\sqrt[5]{2^5 \cdot 2} = -(\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2}) = -2\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $-2\sqrt[5]{2}$

в) Выносим множитель из-под знака корня пятой степени из -96. Так как степень корня нечетная, можно вынести знак минус: $\sqrt[5]{-96} = -\sqrt[5]{96}$. Разложим 96 на множители, выделяя пятую степень: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
$-\sqrt[5]{96} = -\sqrt[5]{2^5 \cdot 3} = -(\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3}) = -2\sqrt[5]{3}$.
Ответ: $-2\sqrt[5]{3}$

г) Для вынесения множителя из-под знака кубического корня из 54, разложим 54 на множители: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

д) Используем свойство корня от дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Знаменатель 8 является кубом числа 2 ($8=2^3$).
$\sqrt[3]{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

е) Применим свойство корня от дроби и извлечем корень из числителя: $\sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$. Для приведения к стандартному виду (без иррациональности в знаменателе), домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$, чтобы в знаменателе получился полный куб.
$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

ж) Сначала упростим дробь под корнем: $\frac{250}{16} = \frac{125}{8}$.
$\sqrt[3]{-\frac{250}{16}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$.
Теперь извлечем кубический корень из числителя и знаменателя: $125=5^3$ и $8=2^3$.
$-\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{\sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{2^3}} = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $-\frac{5}{2}$

з) Вынесем знак минус и используем свойство корня от дроби: $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}} = -\sqrt[3]{\frac{64}{7}} = -\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{7}}$. Извлечем корень из числителя: $64=4^3$.
$-\frac{\sqrt[3]{4^3}}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{4}{\sqrt[3]{7}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.
$-\frac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{49}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7^3}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$.
Ответ: $-\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$

и) Чтобы вынести множитель из-под знака корня четвертой степени из 32, разложим 32 на множители, выделив множитель, являющийся четвертой степенью: $32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$.
$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 2\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{2}$

к) Разложим подкоренное число 243 на множители, выделив множитель в четвертой степени: $243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{3}$

л) Для извлечения корня четвертой степени из 1296, найдем его разложение на множители. Можно заметить, что $1296$ это $36^2$, а $36$ это $6^2$. Таким образом, $1296 = (6^2)^2 = 6^4$.
$\sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.
Ответ: $6$

м) Разложим число 50625 на множители. Число оканчивается на 25, значит, оно делится на $25 = 5^2$. $50625 = 25 \cdot 2025$. В свою очередь, $2025 = 25 \cdot 81$. Таким образом, $50625 = 25 \cdot 25 \cdot 81 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 3^4 = 5^4 \cdot 3^4 = (5 \cdot 3)^4 = 15^4$.
$\sqrt[4]{50625} = \sqrt[4]{15^4} = 15$.
Ответ: $15$