Номер 3.58, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.58, страница 110.

3.58 a) $ \sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}; $

б) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}; $

в) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}; $

г) $ \sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}. $

а) $\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}$

Для решения данного примера воспользуемся свойством умножения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. Это свойство означает, что произведение корней одной степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32}$

Теперь необходимо извлечь корень пятой степени из 32. Вспомним, что $2$ в пятой степени равно 32, то есть $2^5 = 32$. Следовательно:

$\sqrt[5]{32} = 2$

Ответ: 2

б) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$

Используем то же свойство произведения корней, что и в предыдущем примере: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим его к выражению:

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{64}$

Далее извлекаем корень третьей степени из 64. Так как $4$ в третьей степени дает 64 ($4^3 = 64$), получаем:

$\sqrt[3]{64} = 4$

Ответ: 4

в) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}$

Этот пример включает произведение трех корней одинаковой, третьей степени. Свойство произведения корней распространяется и на три множителя: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a \cdot b \cdot c}$.

Применим это правило:

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot (-2)}$

Вычислим произведение под знаком корня:

$4 \cdot 8 \cdot (-2) = 32 \cdot (-2) = -64$

Таким образом, мы получаем выражение $\sqrt[3]{-64}$. Поскольку степень корня нечетная (3), можно извлекать корень из отрицательного числа. Зная, что $(-4)^3 = -64$, находим результат:

$\sqrt[3]{-64} = -4$

Ответ: -4

г) $\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}$

В этом примере мы также имеем произведение корней одной и той же степени (пятой). Используем то же свойство, что и ранее: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a \cdot b \cdot c}$.

Перемножим подкоренные выражения:

$\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49} = \sqrt[5]{-7 \cdot 49 \cdot 49}$

Для удобства вычислений представим число 49 как степень семерки: $49 = 7^2$. Тогда выражение под корнем примет вид:

$-7 \cdot 7^2 \cdot 7^2 = -(7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^2) = -7^{1+2+2} = -7^5$

Теперь нужно вычислить $\sqrt[5]{-7^5}$. Так как степень корня ($5$) нечетная, корень извлекается, и мы получаем:

$\sqrt[5]{-7^5} = -7$

Ответ: -7