Номер 3.65, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.65, страница 110.

3.65 Упростите выражение $\sqrt[4]{(x+1)^4}$, если:

а) $x$ — любое действительное число;

б) $x \ge -1$;

в) $x < -1$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(x+1)^4}$ используется свойство корня четной степени: для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ справедливо равенство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

В данном случае показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 4 (четное число), поэтому:

$\sqrt[4]{(x+1)^4} = |x+1|$

Поскольку $x$ — любое действительное число, знак выражения $x+1$ может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю. Поэтому выражение $|x+1|$ является конечным упрощением в общем случае.

Ответ: $|x+1|$

б) В этом случае дано дополнительное условие $x \ge -1$. Проанализируем знак выражения $x+1$ при этом условии.

Если $x \ge -1$, то, прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $x+1 \ge 0$.

Это означает, что выражение под знаком модуля является неотрицательным. По определению модуля, если $A \ge 0$, то $|A| = A$.

Следовательно, при $x \ge -1$ мы имеем $|x+1| = x+1$.

Ответ: $x+1$

в) Здесь дано условие $x < -1$. Проанализируем знак выражения $x+1$ при этом условии.

Если $x < -1$, то, прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $x+1 < 0$.

Это означает, что выражение под знаком модуля является отрицательным. По определению модуля, если $A < 0$, то $|A| = -A$.

Следовательно, при $x < -1$ мы имеем $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Ответ: $-(x+1)$