Номер 3.70, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.70, страница 113.

3.70 Упростите¹:

а) $\sqrt[4]{x^4}$;

б) $\sqrt[4]{(-x)^4}$;

в) $\sqrt{(x-1)^2}$, если $x < 1$;

г) $\sqrt{(1-x)^2}$, если $x \ge 1$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{x^4}$ используется свойство корня четной степени, которое гласит, что $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня и показатель степени равны 4 (четное число).

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$

Выражение $|x|$ является окончательным упрощением, так как знак переменной $x$ неизвестен.

Ответ: $|x|$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-x)^4}$. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, то $(-x)^4 = x^4$. Таким образом, выражение можно переписать следующим образом:

$\sqrt[4]{(-x)^4} = \sqrt[4]{x^4}$

Как и в предыдущем пункте, применяем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$

Альтернативно, можно было сразу применить свойство к исходному выражению, где $a = -x$. Тогда $\sqrt[4]{(-x)^4} = |-x|$. Так как модуль противоположного числа равен модулю самого числа ($|-x| = |x|$), результат будет тем же.

Ответ: $|x|$

в)

Нужно упростить выражение $\sqrt{(x-1)^2}$ при условии, что $x < 1$.

Свойство квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим его:

$\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

Теперь необходимо раскрыть модуль, используя данное условие $x < 1$. Если $x < 1$, то разность $x-1$ будет отрицательной ($x-1 < 0$).

По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно, то его модуль равен противоположному ему выражению.

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

Ответ: $1-x$

г)

Нужно упростить выражение $\sqrt{(1-x)^2}$ при условии, что $x \ge 1$.

Используем то же свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(1-x)^2} = |1-x|$

Раскроем модуль, учитывая условие $x \ge 1$. Из этого условия следует, что разность $1-x$ будет неположительной ($1-x \le 0$).

По определению, модуль неположительного выражения равен противоположному выражению.

$|1-x| = -(1-x) = x-1$

Ответ: $x-1$