Номер 3.106, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.106, страница 122.

3.106 Вычислите с точностью до 1:

а) $\sqrt[3]{175};$

б) $\sqrt[3]{241};$

в) $\sqrt[4]{105};$

г) $\sqrt[4]{273}.$

Чтобы вычислить значение корня с точностью до 1, необходимо найти ближайшее к нему целое число. Для этого мы определим, между какими двумя последовательными целыми числами находится значение корня, а затем выясним, к какому из них оно ближе.

а) $\sqrt[3]{175}$

Найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 175.
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$

Поскольку $125 < 175 < 216$, мы знаем, что $5 < \sqrt[3]{175} < 6$.

Теперь определим, к какому из концов интервала (5 или 6) ближе наше значение. Сравним расстояние от 175 до 125 и до 216:
$175 - 125 = 50$
$216 - 175 = 41$

Так как 175 ближе к 216, чем к 125 ($41 < 50$), то $\sqrt[3]{175}$ ближе к 6, чем к 5.

Ответ: 6

б) $\sqrt[3]{241}$

Найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 241.
$6^3 = 216$
$7^3 = 343$

Поскольку $216 < 241 < 343$, мы знаем, что $6 < \sqrt[3]{241} < 7$.

Сравним расстояние от 241 до 216 и до 343:
$241 - 216 = 25$
$343 - 241 = 102$

Так как 241 намного ближе к 216, чем к 343 ($25 < 102$), то $\sqrt[3]{241}$ ближе к 6, чем к 7.

Ответ: 6

в) $\sqrt[4]{105}$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 105.
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$

Поскольку $81 < 105 < 256$, мы знаем, что $3 < \sqrt[4]{105} < 4$.

Сравним расстояние от 105 до 81 и до 256:
$105 - 81 = 24$
$256 - 105 = 151$

Так как 105 ближе к 81, чем к 256 ($24 < 151$), то $\sqrt[4]{105}$ ближе к 3, чем к 4.

Ответ: 3

г) $\sqrt[4]{273}$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 273.
$4^4 = 256$
$5^4 = 625$

Поскольку $256 < 273 < 625$, мы знаем, что $4 < \sqrt[4]{273} < 5$.

Сравним расстояние от 273 до 256 и до 625:
$273 - 256 = 17$
$625 - 273 = 352$

Так как 273 ближе к 256, чем к 625 ($17 < 352$), то $\sqrt[4]{273}$ ближе к 4, чем к 5.

Ответ: 4