Номер 4.2, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.2, страница 124.

4.2 Запишите в виде степени с рациональным показателем¹:

а) $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{7} $, $ \sqrt{\frac{1}{3}} $, $ \sqrt{1 \frac{1}{3}}; $

б) $ \sqrt[3]{4} $, $ \sqrt[3]{7} $, $ \sqrt[3]{0,1} $, $ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} $, $ \sqrt[3]{2,5}; $

в) $ \sqrt[3]{2^2} $, $ \sqrt[4]{3^5} $, $ \sqrt[6]{7^5} $, $ \sqrt{3^7} $, $ \sqrt[5]{2^3}; $

г) $ \sqrt[4]{a^3} $, $ \sqrt[4]{a} $, $ \sqrt{x} $, $ \sqrt[3]{x^2} $, $ \sqrt{x^3}; $

д) $ \sqrt{2a} $, $ \sqrt[3]{3x} $, $ \sqrt[4]{5x^3} $, $ \sqrt{2xy^3} $, $ \sqrt[5]{8a^2b^3}; $

е) $ \sqrt{a - 1} $, $ \sqrt[3]{m + n} $, $ \sqrt[3]{(x + 1)^2} $, $ \sqrt[5]{(x - 4)^3}. $

Чтобы записать выражение с корнем в виде степени с рациональным показателем, используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $a \ge 0$, $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $m$ — целое число. Если показатель степени под корнем ($m$) не указан, он равен 1. Если показатель корня ($n$) не указан, это квадратный корень и $n=2$.

а)

В этом подпункте все выражения являются квадратными корнями ($n=2$) из числа ($m=1$).

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Для $\sqrt{1\frac{1}{3}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда:

$\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $2^{\frac{1}{2}}$; $5^{\frac{1}{2}}$; $7^{\frac{1}{2}}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$; $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$.

б)

Здесь все выражения являются кубическими корнями ($n=3$) из числа ($m=1$).

$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{0,1} = (0,1)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{2,5} = (2,5)^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4^{\frac{1}{3}}$; $7^{\frac{1}{3}}$; $(0,1)^{\frac{1}{3}}$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$; $(2,5)^{\frac{1}{3}}$.

в)

Для преобразования этих выражений используется общая формула $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{3^5} = 3^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[6]{7^5} = 7^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt{3^7} = \sqrt[2]{3^7} = 3^{\frac{7}{2}}$

$\sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $2^{\frac{2}{3}}$; $3^{\frac{5}{4}}$; $7^{\frac{5}{6}}$; $3^{\frac{7}{2}}$; $2^{\frac{3}{5}}$.

г)

Применяем те же правила для выражений с переменными.

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$ (при $a \ge 0$)

$\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a^1} = a^{\frac{1}{4}}$ (при $a \ge 0$)

$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}}$ (при $x \ge 0$)

$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{x^3} = \sqrt[2]{x^3} = x^{\frac{3}{2}}$ (при $x \ge 0$)

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$; $a^{\frac{1}{4}}$; $x^{\frac{1}{2}}$; $x^{\frac{2}{3}}$; $x^{\frac{3}{2}}$.

д)

Здесь подкоренное выражение рассматривается как единое основание степени.

$\sqrt{2a} = (2a)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{3x} = (3x)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{5x^3} = (5x^3)^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt{2xy^3} = (2xy^3)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{8a^2b^3} = (8a^2b^3)^{\frac{1}{5}}$

Ответ: $(2a)^{\frac{1}{2}}$; $(3x)^{\frac{1}{3}}$; $(5x^3)^{\frac{1}{4}}$; $(2xy^3)^{\frac{1}{2}}$; $(8a^2b^3)^{\frac{1}{5}}$.

е)

В данных выражениях основанием степени является выражение в скобках.

$\sqrt{a-1} = (a-1)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{m+n} = (m+n)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{(x+1)^2} = (x+1)^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{(x-4)^3} = (x-4)^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $(a-1)^{\frac{1}{2}}$; $(m+n)^{\frac{1}{3}}$; $(x+1)^{\frac{2}{3}}$; $(x-4)^{\frac{3}{5}}$.