Номер 3.105, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.9*. Корень степени n из натурального числа - номер 3.105, страница 122.

Условие.

3.105 Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:

а) $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[4]{20}$;

г) $\sqrt[4]{300}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{3}$, нужно найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{3} < n+1$. Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 3 < (n+1)^3$.
Проверим натуральные числа по порядку.
При $n=1$: $1^3 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, его куб равен $2^3 = 8$.
Поскольку $1 < 3 < 8$, то справедливо и неравенство $1^3 < 3 < 2^3$.
Извлекая кубический корень из всех частей, получаем $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[3]{3}$ заключено между числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Аналогично предыдущему пункту, ищем натуральное число $n$, такое что $n < \sqrt[3]{4} < n+1$. Возводим в куб: $n^3 < 4 < (n+1)^3$.
При $n=1$: $1^3 = 1$.
При $n+1=2$: $2^3 = 8$.
Так как $1 < 4 < 8$, то $1^3 < 4 < 2^3$.
Извлекая кубический корень, получаем $1 < \sqrt[3]{4} < 2$.
Число $\sqrt[3]{4}$ заключено между числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

в) Ищем натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{20} < n+1$. Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < 20 < (n+1)^4$.
Проверим натуральные числа:
При $n=1$: $1^4 = 1$.
При $n=2$: $2^4 = 16$.
При $n=3$: $3^4 = 81$.
Мы видим, что $16 < 20 < 81$, то есть $2^4 < 20 < 3^4$.
Извлекая корень четвертой степени, получаем $2 < \sqrt[4]{20} < 3$.
Число $\sqrt[4]{20}$ заключено между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

г) Ищем натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{300} < n+1$. Возводим в четвертую степень: $n^4 < 300 < (n+1)^4$.
Проверим степени натуральных чисел:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$
$5^4 = 625$
Из этих вычислений видно, что $256 < 300 < 625$, то есть $4^4 < 300 < 5^4$.
Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем $4 < \sqrt[4]{300} < 5$.
Число $\sqrt[4]{300}$ заключено между числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.