Страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.34 По каким правилам вычисляют пределы суммы, разности, произведения и частного переменных $x_n$ и $y_n$?

Вычисление пределов суммы, разности, произведения и частного для последовательностей (в вопросе они названы переменными) $x_n$ и $y_n$ производится на основе так называемых арифметических свойств пределов. Эти правила применимы, если пределы исходных последовательностей существуют и конечны.

Пусть существуют конечные пределы: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ и $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа.

Предел суммы
Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов. Это означает, что операция сложения и операция взятия предела перестановочны (их можно менять местами).
Ответ: $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = a + b$.

Предел разности
Предел разности двух сходящихся последовательностей равен разности их пределов. По аналогии с суммой, операция вычитания и взятие предела перестановочны.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n = a - b$.

Предел произведения
Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = a \cdot b$.
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела: $\lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot a$.

Предел частного
Предел частного (отношения) двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{a}{b}$, при обязательном условии, что $b \neq 0$.

Эти четыре правила являются фундаментальными при вычислении пределов. Важно помнить, что они работают только для сходящихся последовательностей. Если предел знаменателя в правиле для частного равен нулю, возникает неопределенность вида $\frac{a}{0}$ (если $a \neq 0$) или $\frac{0}{0}$, которые требуют отдельных методов исследования.

Найдите предел (4.35–4.37):

4.35 a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 12}{n + 11}$;

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n - 1}$;

в) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5 - 3n}$;

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n}{n + 2}$;

д) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 1}$;

е) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5}$;

ж) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n}{n^2 - 1}$;

з) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2 - n}{3 - n^2}$;

и) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3 + n}$.

Для нахождения пределов данных рациональных функций при $n \to +\infty$ мы используем метод деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной $n$ в знаменателе. Это позволяет избавиться от неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$ и свести задачу к использованию известного факта, что $\lim_{n \to +\infty} \frac{c}{n^k} = 0$ для любой константы $c$ и $k > 0$.

а) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 12}{n + 11}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — первая ($n^1$). Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 12}{n + 11} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n}{n} + \frac{12}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{11}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{12}{n}}{1 + \frac{11}{n}} $. Поскольку при $n \to +\infty$ слагаемые $\frac{12}{n}$ и $\frac{11}{n}$ стремятся к нулю, получаем: $ \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 $. Ответ: 1.

б) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n - 1}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}} $. Так как $\frac{1}{n} \to 0$ при $n \to +\infty$, имеем: $ \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 $. Ответ: 2.

в) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5 - 3n}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5 - 3n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{5}{n} - \frac{3n}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{5}{n} - 3} $. Учитывая, что $\frac{1}{n} \to 0$ и $\frac{5}{n} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{2 + 0}{0 - 3} = -\frac{2}{3} $. Ответ: $-\frac{2}{3}$.

г) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n}{n + 2}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{3n}{n + 2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{n}} $. Так как $\frac{2}{n} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{3}{1 + 0} = 3 $. Ответ: 3.

д) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 1}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — вторая ($n^2$). Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2 - \frac{1}{n^2}} $. Поскольку $\frac{1}{n^2} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{1}{2 - 0} = \frac{1}{2} $. Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{5}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}} $. Учитывая, что $\frac{1}{n^2} \to 0$ и $\frac{5}{n^2} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 $. Ответ: 2.

ж) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n}{n^2 - 1}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — $n^2$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n}{n^2 - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^2} + \frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n^2}} $. При $n \to +\infty$, числитель $n + \frac{1}{n}$ стремится к $+\infty$ (так как $n \to +\infty$ и $\frac{1}{n} \to 0$), а знаменатель $1 - \frac{1}{n^2}$ стремится к 1. Таким образом, предел равен бесконечности. $ \frac{+\infty + 0}{1 - 0} = +\infty $. Ответ: $+\infty$.

з) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2 - n}{3 - n^2}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - n}{3 - n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2}{n^2} - \frac{n}{n^2}}{\frac{3}{n^2} - \frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2}{n^2} - \frac{1}{n}}{\frac{3}{n^2} - 1} $. Так как $\frac{2}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$ и $\frac{3}{n^2} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{0 - 0}{0 - 1} = 0 $. Ответ: 0.

и) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3 + n}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — $n^3$. Разделим числитель и знаменатель на $n^3$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} + \frac{n}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^2}} $. Поскольку все слагаемые с $n$ в знаменателе стремятся к нулю при $n \to +\infty$: $ \frac{0 - 0}{1 + 0} = 0 $. Ответ: 0.

4.36 a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4};$

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1};$

В) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1};$

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}.$

а) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4}$

Для нахождения предела данного отношения многочленов при $n \to +\infty$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$ в выражении, которой является $n^3$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3} + \frac{3n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{5n}{n^3} + \frac{4}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^3}}{2 - \frac{5}{n^2} + \frac{4}{n^3}}$

При $n \to +\infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю ($\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^3} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$, $\frac{4}{n^3} \to 0$). Подставив их предельные значения, получаем:

$\frac{1 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

Также можно воспользоваться правилом: если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел их отношения при $n \to +\infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В данном случае степени равны 3, а коэффициенты при $n^3$ равны 1 и 2. Предел равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1}$

Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Степень многочлена в числителе (3) больше степени многочлена в знаменателе (2). Это означает, что числитель растет быстрее знаменателя, и предел будет равен бесконечности. Для формального решения разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $n^2$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n^3}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$

При $n \to +\infty$ выражения $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к 0.

Числитель $3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ стремится к $\lim_{n \to +\infty}(3n) = +\infty$.

Знаменатель стремится к $4 + 0 - 0 = 4$.

Таким образом, предел равен $\frac{+\infty}{4}$, что равно $+\infty$.

Ответ: $+\infty$

в) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1}$

В этом примере степень многочлена в числителе (3) меньше степени многочлена в знаменателе (5). Это означает, что знаменатель растет значительно быстрее числителя. В таких случаях предел равен нулю. Для формального доказательства разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, $n^5$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^5} - \frac{3n^2}{n^5} + \frac{1}{n^5}}{\frac{n^5}{n^5} - \frac{100n}{n^5} - \frac{1}{n^5}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{3}{n^3} + \frac{1}{n^5}}{1 - \frac{100}{n^4} - \frac{1}{n^5}}$

При $n \to +\infty$ все слагаемые, которые имеют $n$ в знаменателе, стремятся к нулю.

$\frac{0 - 0 + 0}{1 - 0 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $0$

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}$

В данном случае числитель является константой (1), а знаменатель представляет собой многочлен, который стремится к бесконечности при $n \to +\infty$.

Рассмотрим предел знаменателя: $\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)$. Так как $n^3$ растет быстрее, чем $10n$, он доминирует в выражении, и знаменатель стремится к $+\infty$.

Предел всей дроби представляет собой отношение константы к бесконечно большой величине, что равно нулю.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1} = \frac{1}{\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)} = \frac{1}{+\infty} = 0$

Формально это можно показать, разделив числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе ($n^3$):

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} - \frac{10n}{n^3} + \frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{1 - \frac{10}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{0}{1 - 0 + 0} = 0$

Ответ: $0$