Страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 37

ИССЛЕДУЕМ (4.43–4.44):

4.43* Стороны квадрата разделили на 3 равные части. На каждой средней части во внешнюю область построили новый квадрат и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изображённая на рисунке 37, а. Затем каждую сторону полученной фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней части построили новый квадрат во внешнюю область и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изображённая на рисунке 37, б. Тем же способом получили третью фигуру (рис. 37, в) и т. д.

а) Определите площадь $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, если $a$ — сторона исходного квадрата.

б) Определите предел, к которому стремится площадь $S_n$ фигуры при $n \to +\infty$.

Для определения площади $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, проанализируем, как изменяется площадь на каждом шаге. Исходная фигура — это квадрат со стороной $a$, его начальная площадь $S_0 = a^2$.

На первом шаге ($k=1$) к каждой из 4 сторон исходного квадрата добавляется новый квадрат. Сторона этого нового квадрата равна средней трети стороны исходного, то есть $a/3$. Таким образом, добавляется 4 квадрата. Площадь, добавленная на этом шаге, равна: $\Delta S_1 = 4 \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}a^2$. Общая площадь фигуры $S_1$ после первого преобразования становится: $S_1 = S_0 + \Delta S_1 = a^2 + \frac{4}{9}a^2$. Новая фигура теперь имеет $4 \cdot 4 = 16$ сторон, длина каждой из которых равна $a/3$.

На втором шаге ($k=2$) к каждой из 16 сторон полученной фигуры добавляется новый квадрат со стороной, равной $\frac{1}{3}$ длины стороны предыдущей фигуры, то есть $\frac{1}{3} \cdot \frac{a}{3} = \frac{a}{3^2} = \frac{a}{9}$. Площадь, добавленная на этом шаге, равна: $\Delta S_2 = 16 \cdot \left(\frac{a}{9}\right)^2 = 16 \cdot \frac{a^2}{81} = \frac{16}{81}a^2 = a^2 \left(\frac{4}{9}\right)^2$. Общая площадь $S_2$ после второго преобразования: $S_2 = S_1 + \Delta S_2 = a^2 + \frac{4}{9}a^2 + \frac{16}{81}a^2$.

Обобщая, на $k$-м шаге фигура имеет $N_{k-1} = 4 \cdot 4^{k-1} = 4^k$ сторон. На этом шаге мы добавляем $4^k$ новых квадратов, сторона каждого из которых равна $a/3^k$. Площадь, добавленная на $k$-м шаге, составляет: $\Delta S_k = 4^k \cdot \left(\frac{a}{3^k}\right)^2 = 4^k \cdot \frac{a^2}{(3^2)^k} = a^2 \left(\frac{4}{9}\right)^k$.

Общая площадь $S_n$ после $n$ преобразований является суммой площади исходного квадрата и площадей, добавленных на каждом шаге с 1-го по $n$-й: $S_n = S_0 + \Delta S_1 + \Delta S_2 + \dots + \Delta S_n = a^2 + a^2\left(\frac{4}{9}\right)^1 + a^2\left(\frac{4}{9}\right)^2 + \dots + a^2\left(\frac{4}{9}\right)^n$.

Это можно записать в виде суммы: $S_n = a^2 \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^k$.

Выражение в скобках является суммой первых $n+1$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 4/9$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $\Sigma = b_1 \frac{1-q^k}{1-q}$, где $k$ — количество членов. В нашем случае $k = n+1$. $\Sigma = 1 \cdot \frac{1 - (4/9)^{n+1}}{1 - 4/9} = \frac{1 - (4/9)^{n+1}}{5/9} = \frac{9}{5}\left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$.

Таким образом, итоговая формула для площади $S_n$ имеет вид: $S_n = a^2 \cdot \frac{9}{5}\left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$.

Ответ: $S_n = \frac{9}{5}a^2 \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$.

Для определения предела, к которому стремится площадь $S_n$ при $n \to +\infty$, необходимо вычислить предел выражения для $S_n$, полученного в пункте а).

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{9}{5}a^2 \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)\right]$.

Рассмотрим предел члена $\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}$ при $n \to \infty$. Поскольку основание степени $q = 4/9$ по модулю меньше единицы ($|q| < 1$), его предел при $n \to \infty$ равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1} = 0$.

Подставляя это значение в выражение для предела площади, получаем: $S = \frac{9}{5}a^2 (1 - 0) = \frac{9}{5}a^2$.

Другой способ — представить предельную площадь как сумму бесконечной геометрической прогрессии: $S = a^2 \left(1 + \frac{4}{9} + \left(\frac{4}{9}\right)^2 + \dots \right) = a^2 \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^k$. Так как знаменатель прогрессии $q=4/9$ удовлетворяет условию $|q|<1$, ряд сходится, и его сумма равна $\frac{1}{1-q}$. Сумма ряда составляет $\frac{1}{1-4/9} = \frac{1}{5/9} = \frac{9}{5}$. Следовательно, предельная площадь равна $S = a^2 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5}a^2$.

Ответ: $\frac{9}{5}a^2$.

4.44* Стороны равностороннего треугольника разделили на 3 равные части. На каждой средней части во внешнюю область построили новый равносторонний треугольник и эту среднюю часть удалили (рис. 38, а). Затем каждую сторону полученной

Рис. 38

фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней части построили новый равносторонний треугольник во внешнюю область и эту среднюю часть удалили (рис. 38, б). Тем же способом получили третью фигуру (рис. 38, в) и т. д.

а) Определите периметр $P_n$ и площадь $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, если сторона исходного треугольника равна $a$.

б) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} P_n$. в) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} S_n$.

а) Определите периметр $P_n$ и площадь $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, если сторона исходного треугольника равна $a$.

Эта задача описывает построение фрактальной фигуры, известной как снежинка Коха. Исходная фигура (при $n=0$) — это равносторонний треугольник со стороной $a$.

Периметр $P_n$

Периметр исходного треугольника ($F_0$) равен $P_0 = 3a$.

На каждом шаге преобразования каждая сторона фигуры заменяется на 4 новых стороны, каждая из которых в 3 раза короче исходной. Если длина стороны на шаге $k$ была $l_k$, то на шаге $k+1$ она заменяется четырьмя сторонами общей длиной $4 \cdot (l_k/3) = (4/3)l_k$.

Это означает, что периметр фигуры на каждом шаге умножается на коэффициент $4/3$. Таким образом, последовательность периметров $P_0, P_1, P_2, \ldots, P_n$ представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 4/3$.

Периметр $P_n$ после $n$-го преобразования можно найти по формуле:

$P_n = P_0 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^n = 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$.

Площадь $S_n$

Площадь исходного равностороннего треугольника $F_0$ со стороной $a$ равна:

$S_0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

На первом шаге ($n=1$) к исходному треугольнику добавляются 3 новых равносторонних треугольника. Сторона каждого из них равна $a/3$. Площадь каждого такого маленького треугольника равна:

$s_1 = \frac{(a/3)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4 \cdot 9} = \frac{S_0}{9}$.

Площадь, добавленная на первом шаге, равна $3 \cdot s_1 = 3 \cdot \frac{S_0}{9} = \frac{S_0}{3}$.

На $k$-м шаге ($k \ge 1$) мы добавляем новые треугольники на каждой из сторон фигуры, полученной на $(k-1)$-м шаге. Количество сторон на $(k-1)$-м шаге равно $N_{k-1} = 3 \cdot 4^{k-1}$. Сторона добавляемых на $k$-м шаге треугольников равна $l_k = a/3^k$. Площадь каждого из них:

$s_k = \frac{(a/3^k)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{S_0}{9^k}$.

Общая площадь, добавленная на $k$-м шаге, равна произведению количества добавленных треугольников ($N_{k-1}$) на их площадь ($s_k$):

$\Delta S_k = N_{k-1} \cdot s_k = (3 \cdot 4^{k-1}) \cdot \frac{S_0}{9^k} = 3 \cdot 4^{k-1} \cdot \frac{S_0}{9 \cdot 9^{k-1}} = \frac{S_0}{3} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1}$.

Полная площадь $S_n$ после $n$ преобразований равна сумме исходной площади и всех добавок:

$S_n = S_0 + \sum_{k=1}^{n} \Delta S_k = S_0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{S_0}{3} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1}$.

Сумма в этом выражении является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = S_0/3$ и знаменателем $q = 4/9$. По формуле суммы:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{S_0}{3} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1} = \frac{S_0}{3} \cdot \frac{1 - (4/9)^n}{1 - 4/9} = \frac{S_0}{3} \cdot \frac{1 - (4/9)^n}{5/9} = \frac{3S_0}{5} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.

Таким образом, общая площадь $S_n$ равна:

$S_n = S_0 + \frac{3S_0}{5} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right) = S_0 \left(1 + \frac{3}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right) = S_0 \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.

Подставляя значение $S_0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, получаем окончательную формулу для площади:

$S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.

Ответ: $P_n = 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$, $S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.

б) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} P_n$.

Используем формулу для периметра, полученную в пункте а):

$P_n = 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$.

Найдём предел этой последовательности при $n \to +\infty$:

$\lim_{n \to +\infty} P_n = \lim_{n \to +\infty} 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$.

Так как основание степени $4/3 > 1$, то $\lim_{n \to +\infty} (4/3)^n = +\infty$.

Поскольку $a > 0$, периметр неограниченно растёт.

Ответ: $+\infty$.

в) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} S_n$.

Используем формулу для площади, полученную в пункте а):

$S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.

Найдём предел этой последовательности при $n \to +\infty$:

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left[\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)\right]$.

Так как основание степени $|4/9| < 1$, то предел степенного члена равен нулю: $\lim_{n \to +\infty} (4/9)^n = 0$.

Тогда предел площади равен:

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5} \cdot 0\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{5}$.

Таким образом, площадь фигуры стремится к конечному значению, которое в $8/5$ раз больше площади исходного треугольника.

Ответ: $\frac{2a^2\sqrt{3}}{5}$.