Страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.37* a) $\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n^2 + 2n);$

б) $\lim_{n \to +\infty} (n^4 - 100n^2 - 100);$

В) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n});$

Г) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+6n} - \sqrt{n^2-6n}).$

а) Требуется найти предел $\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n^2 + 2n)$.
При $n \to +\infty$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\infty - \infty$. Для ее раскрытия вынесем за скобки член с наибольшей степенью, то есть $n^3$.
$\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n^2 + 2n) = \lim_{n \to +\infty} n^3(1 - \frac{10n^2}{n^3} + \frac{2n}{n^3}) = \lim_{n \to +\infty} n^3(1 - \frac{10}{n} + \frac{2}{n^2})$.
Когда $n$ стремится к бесконечности, слагаемые $\frac{10}{n}$ и $\frac{2}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, выражение в скобках стремится к $1 - 0 + 0 = 1$.
В результате получаем:
$\lim_{n \to +\infty} n^3 \cdot 1 = +\infty$.
Ответ: $+\infty$.

б) Требуется найти предел $\lim_{n \to +\infty} (n^4 - 100n^2 - 100)$.
Здесь также имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Как и в предыдущем примере, вынесем за скобки член с наивысшей степенью, то есть $n^4$.
$\lim_{n \to +\infty} (n^4 - 100n^2 - 100) = \lim_{n \to +\infty} n^4(1 - \frac{100n^2}{n^4} - \frac{100}{n^4}) = \lim_{n \to +\infty} n^4(1 - \frac{100}{n^2} - \frac{100}{n^4})$.
При $n \to +\infty$, дроби $\frac{100}{n^2}$ и $\frac{100}{n^4}$ стремятся к нулю. Выражение в скобках стремится к $1 - 0 - 0 = 1$.
Следовательно, предел равен:
$\lim_{n \to +\infty} n^4 \cdot 1 = +\infty$.
Ответ: $+\infty$.

в) Требуется найти предел $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
Это неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$.
$\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.
В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.
При $n \to +\infty$, знаменатель $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ стремится к $+\infty$. Предел дроби, у которой числитель — константа, а знаменатель стремится к бесконечности, равен нулю.
Ответ: $0$.

г) Требуется найти предел $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 6n})$.
Снова имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Используем метод умножения на сопряженное выражение, которое в данном случае равно $(\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n})$.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 6n})(\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n})}{\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n}}$.
Используем формулу разности квадратов для числителя:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{(n^2 + 6n) - (n^2 - 6n)}{\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 6n - n^2 + 6n}{\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{12n}{\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n}}$.
Теперь мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на $n$ (старшую степень переменной в знаменателе).
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{12n}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 + 6n}}{n} + \frac{\sqrt{n^2 - 6n}}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{12}{\sqrt{\frac{n^2 + 6n}{n^2}} + \sqrt{\frac{n^2 - 6n}{n^2}}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{12}{\sqrt{1 + \frac{6}{n}} + \sqrt{1 - \frac{6}{n}}}$.
При $n \to +\infty$, дроби $\frac{6}{n}$ и $-\frac{6}{n}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:
$\frac{12}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{12}{1 + 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: $6$.