Страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.11 a) $\log_2 (\log_2 x) = 1;$

б) $\log_3 (\log_2 x) = 1;$

в) $\log_3 (\log_4 x) = 0;$

г) $\log_5 (\log_2 x) = 0.$

а) $\log_{2}(\log_{2} x) = 1$

Для решения найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным.

1. Для внутреннего логарифма $\log_{2} x$, должно выполняться условие $x > 0$.

2. Для внешнего логарифма, его аргумент $\log_{2} x$ должен быть больше нуля: $\log_{2} x > 0$. Решая это неравенство, получаем $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

Объединяя условия $x > 0$ и $x > 1$, получаем окончательное ОДЗ: $x > 1$.

Теперь решаем уравнение, используя определение логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$).

Из $\log_{2}(\log_{2} x) = 1$ следует, что $\log_{2} x = 2^1$, то есть $\log_{2} x = 2$.

Применяя определение логарифма еще раз, получаем $x = 2^2$, то есть $x = 4$.

Полученное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 1$.

Ответ: $4$.

б) $\log_{3}(\log_{2} x) = 1$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными.

1. $x > 0$.

2. $\log_{2} x > 0$, что означает $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 1$.

Решаем уравнение по определению логарифма.

Из $\log_{3}(\log_{2} x) = 1$ следует, что $\log_{2} x = 3^1$, то есть $\log_{2} x = 3$.

Далее, из $\log_{2} x = 3$ получаем $x = 2^3$, то есть $x = 8$.

Значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 1$).

Ответ: $8$.

в) $\log_{3}(\log_{4} x) = 0$

Найдем ОДЗ.

1. $x > 0$.

2. $\log_{4} x > 0$, что означает $x > 4^0$, то есть $x > 1$.

ОДЗ: $x > 1$.

Решаем уравнение по определению логарифма.

Из $\log_{3}(\log_{4} x) = 0$ следует, что $\log_{4} x = 3^0$, то есть $\log_{4} x = 1$.

Далее, из $\log_{4} x = 1$ получаем $x = 4^1$, то есть $x = 4$.

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$).

Ответ: $4$.

г) $\log_{5}(\log_{2} x) = 0$

Найдем ОДЗ.

1. $x > 0$.

2. $\log_{2} x > 0$, что означает $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

ОДЗ: $x > 1$.

Решаем уравнение по определению логарифма.

Из $\log_{5}(\log_{2} x) = 0$ следует, что $\log_{2} x = 5^0$, то есть $\log_{2} x = 1$.

Далее, из $\log_{2} x = 1$ получаем $x = 2^1$, то есть $x = 2$.

Значение $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1$).

Ответ: $2$.

6.12 a) $ \log_{16} x + \log_4 x + \log_2 x = 7; $

б) $ \log_{81} x + \log_9 x + \log_3 x = 7; $

в) $ 2 \log_2 (\log_2 x) + \log_{0.5} (\log_2 x) = 1; $

г) $ 2 \log_{0.5} (\log_2 x) + \log_2 (\log_2 x) = -1. $

а) $\log_{16} x + \log_4 x + \log_2 x = 7$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_{16} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 16} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^4} = \frac{\log_2 x}{4}$
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^2} = \frac{\log_2 x}{2}$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$\frac{\log_2 x}{4} + \frac{\log_2 x}{2} + \log_2 x = 7$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
$\frac{t}{4} + \frac{t}{2} + t = 7$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$t + 2t + 4t = 28$
$7t = 28$
$t = 4$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 4$
$x = 2^4$
$x = 16$
Корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16>0$).
Ответ: 16

б) $\log_{81} x + \log_9 x + \log_3 x = 7$
ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 3.
$\log_{81} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 81} = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^4} = \frac{\log_3 x}{4}$
$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^2} = \frac{\log_3 x}{2}$
Подставим выражения в уравнение:
$\frac{\log_3 x}{4} + \frac{\log_3 x}{2} + \log_3 x = 7$
Сделаем замену $t = \log_3 x$.
$\frac{t}{4} + \frac{t}{2} + t = 7$
$t + 2t + 4t = 28$
$7t = 28$
$t = 4$
Вернемся к замене:
$\log_3 x = 4$
$x = 3^4$
$x = 81$
Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ ($81>0$).
Ответ: 81

в) $2 \log_2 (\log_2 x) + \log_{0.5} (\log_2 x) = 1$
ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. 1. Для внутреннего логарифма: $x > 0$. 2. Для внешних логарифмов: $\log_2 x > 0$, что равносильно $x > 2^0$, то есть $x > 1$. Итоговое ОДЗ: $x > 1$.
Сделаем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$2 \log_2 t + \log_{0.5} t = 1$
Приведем $\log_{0.5} t$ к основанию 2: $0.5 = 2^{-1}$.
$\log_{0.5} t = \frac{\log_2 t}{\log_2 0.5} = \frac{\log_2 t}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 t}{-1} = -\log_2 t$
Подставим в уравнение:
$2 \log_2 t - \log_2 t = 1$
$\log_2 t = 1$
$t = 2^1 = 2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 2$
$x = 2^2 = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>1$).
Ответ: 4

г) $2 \log_{0.5} (\log_2 x) + \log_2 (\log_2 x) = -1$
ОДЗ: Аналогично пункту в), $x > 1$.
Сделаем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$2 \log_{0.5} t + \log_2 t = -1$
Приведем $\log_{0.5} t$ к основанию 2: $\log_{0.5} t = -\log_2 t$.
Подставим в уравнение:
$2(-\log_2 t) + \log_2 t = -1$
$-2 \log_2 t + \log_2 t = -1$
$-\log_2 t = -1$
$\log_2 t = 1$
$t = 2^1 = 2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 2$
$x = 2^2 = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>1$).
Ответ: 4

6.13 a) $ \log_2 x + 2 \log_4 x + 3 \log_8 x + 4 \log_{16} x = 4; $

б) $ \log_3 x + 2 \log_9 x + 3 \log_{27} x + 4 \log_{81} x = 8; $

в) $ \log_{\sqrt{2}} x + 2 \log_2 x + 4 \log_4 x + 6 \log_8 x = 12; $

г) $ \log_{\sqrt{3}} x + 2 \log_3 x + 4 \log_9 x + 6 \log_{27} x = 16. $

а) $log_2 x + 2 log_4 x + 3 log_8 x + 4 log_{16} x = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $x > 0$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, в данном случае к основанию 2. Воспользуемся формулой смены основания логарифма: $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$.

Преобразуем каждый член уравнения:

$log_4 x = log_{2^2} x = \frac{1}{2} log_2 x$

$log_8 x = log_{2^3} x = \frac{1}{3} log_2 x$

$log_{16} x = log_{2^4} x = \frac{1}{4} log_2 x$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$log_2 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} log_2 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} log_2 x) + 4 \cdot (\frac{1}{4} log_2 x) = 4$

Упростим коэффициенты:

$log_2 x + log_2 x + log_2 x + log_2 x = 4$

Сложим подобные члены:

$4 log_2 x = 4$

Разделим обе части на 4:

$log_2 x = 1$

По определению логарифма, $x = 2^1$.

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $2 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $2$.

б) $log_3 x + 2 log_9 x + 3 log_{27} x + 4 log_{81} x = 8$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3.

$log_9 x = log_{3^2} x = \frac{1}{2} log_3 x$

$log_{27} x = log_{3^3} x = \frac{1}{3} log_3 x$

$log_{81} x = log_{3^4} x = \frac{1}{4} log_3 x$

Подставим преобразованные члены в уравнение:

$log_3 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} log_3 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} log_3 x) + 4 \cdot (\frac{1}{4} log_3 x) = 8$

Упрощаем:

$log_3 x + log_3 x + log_3 x + log_3 x = 8$

$4 log_3 x = 8$

$log_3 x = 2$

Находим $x$ по определению логарифма:

$x = 3^2 = 9$

Проверяем ОДЗ: $9 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $9$.

в) $log_{\sqrt{2}} x + 2 log_2 x + 4 log_4 x + 6 log_8 x = 12$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Учтем, что $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

$log_{\sqrt{2}} x = log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} log_2 x = 2 log_2 x$

$log_4 x = log_{2^2} x = \frac{1}{2} log_2 x$

$log_8 x = log_{2^3} x = \frac{1}{3} log_2 x$

Подставим в уравнение:

$2 log_2 x + 2 log_2 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} log_2 x) + 6 \cdot (\frac{1}{3} log_2 x) = 12$

Упрощаем:

$2 log_2 x + 2 log_2 x + 2 log_2 x + 2 log_2 x = 12$

$8 log_2 x = 12$

$log_2 x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Находим $x$:

$x = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Проверяем ОДЗ: $2\sqrt{2} > 0$. Корень подходит.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

г) $log_{\sqrt{3}} x + 2 log_3 x + 4 log_9 x + 6 log_{27} x = 16$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3. Учтем, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

$log_{\sqrt{3}} x = log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} log_3 x = 2 log_3 x$

$log_9 x = log_{3^2} x = \frac{1}{2} log_3 x$

$log_{27} x = log_{3^3} x = \frac{1}{3} log_3 x$

Подставим в уравнение:

$2 log_3 x + 2 log_3 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} log_3 x) + 6 \cdot (\frac{1}{3} log_3 x) = 16$

Упрощаем:

$2 log_3 x + 2 log_3 x + 2 log_3 x + 2 log_3 x = 16$

$8 log_3 x = 16$

$log_3 x = 2$

Находим $x$:

$x = 3^2 = 9$

Проверяем ОДЗ: $9 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $9$.

6.14* a) $\log_2 x + \log_3 x = \log_3 6;$

б) $\log_3 x + \log_4 x = 2 \log_4 12;$

в) $2 \log_4 x - \log_5 x = 3 \log_{\sqrt{5}} \frac{5}{2};$

г) $2 \log_4 x - \log_6 x = 2 \log_{\sqrt{6}} 3.$

а) $log_{2}x + log_{3}x = log_{3}6$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.

Для решения уравнения необходимо привести все логарифмы к одному основанию. Используем формулу перехода к новому основанию: $log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$. Приведем $log_{2}x$ к основанию 3:

$log_{2}x = \frac{log_{3}x}{log_{3}2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{log_{3}x}{log_{3}2} + log_{3}x = log_{3}6$

Вынесем общий множитель $log_{3}x$ за скобки:

$log_{3}x \left( \frac{1}{log_{3}2} + 1 \right) = log_{3}6$

Упростим выражение в скобках. Так как $\frac{1}{log_{b}a} = log_{a}b$, то $\frac{1}{log_{3}2} = log_{2}3$. А $1$ можно представить как $log_{2}2$.

$\frac{1}{log_{3}2} + 1 = log_{2}3 + log_{2}2 = log_{2}(3 \cdot 2) = log_{2}6$

Теперь уравнение имеет вид:

$log_{3}x \cdot log_{2}6 = log_{3}6$

Выразим $log_{3}x$:

$log_{3}x = \frac{log_{3}6}{log_{2}6}$

Чтобы упростить правую часть, снова воспользуемся формулой перехода к новому основанию, на этот раз к основанию $e$ (натуральный логарифм):

$\frac{log_{3}6}{log_{2}6} = \frac{\frac{\ln6}{\ln3}}{\frac{\ln6}{\ln2}} = \frac{\ln6}{\ln3} \cdot \frac{\ln2}{\ln6} = \frac{\ln2}{\ln3}$

По формуле перехода к новому основанию в обратном порядке $\frac{\ln2}{\ln3} = log_{3}2$.

Следовательно, мы получаем уравнение:

$log_{3}x = log_{3}2$

Из этого следует, что $x=2$. Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).

Ответ: $x=2$.

б) $log_{3}x + log_{4}x = 2log_{4}12$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 4. Для этого используем формулу $log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$:

$log_{3}x = \frac{log_{4}x}{log_{4}3}$

Подставим в уравнение:

$\frac{log_{4}x}{log_{4}3} + log_{4}x = 2log_{4}12$

Вынесем $log_{4}x$ за скобки:

$log_{4}x \left( \frac{1}{log_{4}3} + 1 \right) = 2log_{4}12$

Упростим выражение в скобках: $\frac{1}{log_{4}3} = log_{3}4$ и $1 = log_{3}3$.

$\frac{1}{log_{4}3} + 1 = log_{3}4 + log_{3}3 = log_{3}(4 \cdot 3) = log_{3}12$

Уравнение принимает вид:

$log_{4}x \cdot log_{3}12 = 2log_{4}12$

Выразим $log_{4}x$:

$log_{4}x = \frac{2log_{4}12}{log_{3}12}$

Упростим правую часть, используя формулу перехода к основанию $e$:

$\frac{log_{4}12}{log_{3}12} = \frac{\frac{\ln12}{\ln4}}{\frac{\ln12}{\ln3}} = \frac{\ln3}{\ln4} = log_{4}3$

Подставим это обратно в уравнение для $log_{4}x$:

$log_{4}x = 2 \cdot log_{4}3$

Используя свойство логарифма $n \cdot log_{a}b = log_{a}(b^n)$:

$log_{4}x = log_{4}(3^2) = log_{4}9$

Отсюда $x=9$. Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 > 0$).

Ответ: $x=9$.

в) $2log_{4}x - log_{5}x = 3log_{\sqrt{5}}\frac{5}{2}$

ОДЗ: $x > 0$.

Сначала упростим правую часть уравнения. Используем формулу перехода к основанию 5:

$log_{\sqrt{5}}\frac{5}{2} = \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{log_{5}\sqrt{5}} = \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{log_{5}(5^{1/2})} = \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{1/2} = 2log_{5}\frac{5}{2}$

Тогда правая часть равна: $3 \cdot \left(2log_{5}\frac{5}{2}\right) = 6log_{5}\frac{5}{2}$.

Теперь уравнение выглядит так: $2log_{4}x - log_{5}x = 6log_{5}\frac{5}{2}$.

Приведем все логарифмы в левой части к основанию 5:

$2\frac{log_{5}x}{log_{5}4} - log_{5}x = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Вынесем $log_{5}x$ за скобки:

$log_{5}x \left( \frac{2}{log_{5}4} - 1 \right) = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Упростим выражение в скобках: $\frac{2}{log_{5}4} - 1 = 2log_{4}5 - log_{4}4 = log_{4}(5^2) - log_{4}4 = log_{4}25 - log_{4}4 = log_{4}\frac{25}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$log_{5}x \cdot log_{4}\frac{25}{4} = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Заметим, что $\frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2$. Тогда $log_{4}\frac{25}{4} = log_{4}\left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right) = 2log_{4}\frac{5}{2}$.

$log_{5}x \cdot 2log_{4}\frac{5}{2} = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Выразим $log_{5}x$:

$log_{5}x = \frac{6log_{5}\frac{5}{2}}{2log_{4}\frac{5}{2}} = 3 \cdot \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{log_{4}\frac{5}{2}}$

Упростим дробь $\frac{log_{5}(5/2)}{log_{4}(5/2)} = \frac{\ln(5/2)/\ln5}{\ln(5/2)/\ln4} = \frac{\ln4}{\ln5} = log_{5}4$.

Получаем: $log_{5}x = 3log_{5}4 = log_{5}(4^3) = log_{5}64$.

Следовательно, $x=64$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$).

Ответ: $x=64$.

г) $2log_{4}x - log_{6}x = 2log_{\sqrt{6}}3$

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть. Перейдем к основанию 6:

$log_{\sqrt{6}}3 = \frac{log_{6}3}{log_{6}\sqrt{6}} = \frac{log_{6}3}{log_{6}(6^{1/2})} = \frac{log_{6}3}{1/2} = 2log_{6}3$

Правая часть равна: $2 \cdot (2log_{6}3) = 4log_{6}3$.

Уравнение: $2log_{4}x - log_{6}x = 4log_{6}3$.

Приведем логарифмы в левой части к основанию 6:

$2\frac{log_{6}x}{log_{6}4} - log_{6}x = 4log_{6}3$

Вынесем $log_{6}x$ за скобки:

$log_{6}x \left( \frac{2}{log_{6}4} - 1 \right) = 4log_{6}3$

Упростим выражение в скобках: $\frac{2}{log_{6}4} - 1 = 2log_{4}6 - log_{4}4 = log_{4}(6^2) - log_{4}4 = log_{4}36 - log_{4}4 = log_{4}\frac{36}{4} = log_{4}9$.

Уравнение принимает вид:

$log_{6}x \cdot log_{4}9 = 4log_{6}3$

Выразим $log_{6}x$:

$log_{6}x = \frac{4log_{6}3}{log_{4}9}$

Так как $log_{4}9 = log_{4}(3^2) = 2log_{4}3$, получаем:

$log_{6}x = \frac{4log_{6}3}{2log_{4}3} = 2 \cdot \frac{log_{6}3}{log_{4}3}$

Упростим дробь $\frac{log_{6}3}{log_{4}3} = \frac{\ln3/\ln6}{\ln3/\ln4} = \frac{\ln4}{\ln6} = log_{6}4$.

Получаем: $log_{6}x = 2log_{6}4 = log_{6}(4^2) = log_{6}16$.

Следовательно, $x=16$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$).

Ответ: $x=16$.

6.15 a) $\log_2^2 x + 5 \log_3 x \log_4 x + \log_5^2 x = 0;$

б) $\log_3^2 x + 2 \log_4 x \log_5 x + 6 \log_6^2 x = 0;$

в) $\log_5^2 x - 13 \log_5 x \log_4 x + 22 \log_4^2 x = 0;$

г) $\log_2^2 x - 5 \log_2 x \log_3 x + 6 \log_3^2 x = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \log_2^2 x + 5 \log_3 x \log_4 x + \log_5^2 x = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы в уравнении к одному основанию, например, к натуральному логарифму $ \ln $, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} $.

Уравнение примет вид:

$ \left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right)^2 + 5 \left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right) \left(\frac{\ln x}{\ln 4}\right) + \left(\frac{\ln x}{\ln 5}\right)^2 = 0 $

Упростим выражение:

$ \frac{(\ln x)^2}{(\ln 2)^2} + \frac{5 (\ln x)^2}{(\ln 3)(\ln 4)} + \frac{(\ln x)^2}{(\ln 5)^2} = 0 $

Вынесем общий множитель $ (\ln x)^2 $ за скобки:

$ (\ln x)^2 \left( \frac{1}{(\ln 2)^2} + \frac{5}{(\ln 3)(\ln 4)} + \frac{1}{(\ln 5)^2} \right) = 0 $

Рассмотрим выражение в скобках. Так как основания логарифмов $ 2, 3, 4, 5 $ больше 1, их натуральные логарифмы $ \ln 2, \ln 3, \ln 4, \ln 5 $ являются положительными числами. Следовательно, каждый член в скобках — положительное число:

$ \frac{1}{(\ln 2)^2} > 0, \quad \frac{5}{(\ln 3)(\ln 4)} > 0, \quad \frac{1}{(\ln 5)^2} > 0 $.

Сумма трех положительных чисел также является положительным числом. Обозначим эту сумму константой $ C $, где $ C > 0 $.

Тогда уравнение принимает вид $ (\ln x)^2 \cdot C = 0 $. Поскольку $ C \ne 0 $, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ (\ln x)^2 = 0 $, откуда $ \ln x = 0 $.

Решением уравнения $ \ln x = 0 $ является $ x = e^0 = 1 $.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x=1 $.

б)

Исходное уравнение: $ \log_3^2 x + 2 \log_4 x \log_5 x + 6 \log_6^2 x = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Как и в предыдущем задании, приведем все логарифмы к натуральному логарифму:

$ \left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right)^2 + 2 \left(\frac{\ln x}{\ln 4}\right) \left(\frac{\ln x}{\ln 5}\right) + 6 \left(\frac{\ln x}{\ln 6}\right)^2 = 0 $

$ \frac{(\ln x)^2}{(\ln 3)^2} + \frac{2 (\ln x)^2}{(\ln 4)(\ln 5)} + \frac{6 (\ln x)^2}{(\ln 6)^2} = 0 $

Вынесем $ (\ln x)^2 $ за скобки:

$ (\ln x)^2 \left( \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{2}{(\ln 4)(\ln 5)} + \frac{6}{(\ln 6)^2} \right) = 0 $

Все основания логарифмов ($ 3, 4, 5, 6 $) больше 1, поэтому их натуральные логарифмы положительны. Выражение в скобках представляет собой сумму положительных слагаемых, а значит, само является положительной константой, не равной нулю.

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ (\ln x)^2 = 0 $, что означает $ \ln x = 0 $.

Отсюда получаем единственный корень $ x = 1 $, который входит в ОДЗ.

Ответ: $ x=1 $.

в)

Исходное уравнение: $ \log_5^2 x - 13 \log_5 x \log_4 x + 22 \log_4^2 x = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно $ \log_5 x $ и $ \log_4 x $.

Заметим, что $ x=1 $ является корнем, так как при $ x=1 $ все логарифмы равны нулю, и уравнение превращается в верное равенство $ 0=0 $.

Для поиска других корней решим уравнение как квадратное относительно $ \log_5 x $. Пусть $ a = \log_5 x $ и $ b = \log_4 x $. Уравнение принимает вид:

$ a^2 - 13ab + 22b^2 = 0 $.

Разложим левую часть на множители. Найдем корни уравнения $ t^2 - 13t + 22 = 0 $ относительно $ t = a/b $. Корни $ t_1 = 2, t_2 = 11 $. Тогда $ a^2 - 13ab + 22b^2 = (a-2b)(a-11b) = 0 $.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{gathered} \log_5 x - 2 \log_4 x = 0 \\ \log_5 x - 11 \log_4 x = 0 \end{gathered} \right. $

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $ \log_5 x = 2 \log_4 x $

Перейдем к натуральному логарифму: $ \frac{\ln x}{\ln 5} = 2 \frac{\ln x}{\ln 4} $.

$ \ln x \left(\frac{1}{\ln 5} - \frac{2}{\ln 4}\right) = 0 $.

Это равенство выполняется, если $ \ln x = 0 $ (т.е. $ x=1 $) или если выражение в скобках равно нулю. Проверим скобку: $ \frac{1}{\ln 5} = \frac{2}{\ln 4} \implies \ln 4 = 2 \ln 5 = \ln(5^2) \implies 4 = 25 $, что неверно. Значит, единственное решение в этом случае — $ x=1 $.

2) $ \log_5 x = 11 \log_4 x $

Аналогично: $ \frac{\ln x}{\ln 5} = 11 \frac{\ln x}{\ln 4} \implies \ln x \left(\frac{1}{\ln 5} - \frac{11}{\ln 4}\right) = 0 $.

Отсюда либо $ \ln x = 0 $ ($ x=1 $), либо $ \ln 4 = 11 \ln 5 = \ln(5^{11}) \implies 4 = 5^{11} $, что неверно. Единственное решение здесь также $ x=1 $.

Объединяя решения, получаем единственный корень.

Ответ: $ x=1 $.

г)

Исходное уравнение: $ \log_2^2 x - 5 \log_2 x \log_3 x + 6 \log_3^2 x = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Это однородное уравнение второй степени относительно $ \log_2 x $ и $ \log_3 x $.

Корень $ x=1 $ очевиден, так как $ \log_2 1 = 0 $ и $ \log_3 1 = 0 $, что дает $ 0=0 $.

Для поиска других корней, разложим левую часть на множители. Пусть $ a = \log_2 x $ и $ b = \log_3 x $. Уравнение имеет вид:

$ a^2 - 5ab + 6b^2 = 0 $.

Разложим на множители: $ (a-2b)(a-3b) = 0 $.

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{gathered} \log_2 x - 2 \log_3 x = 0 \\ \log_2 x - 3 \log_3 x = 0 \end{gathered} \right. $

Решим каждое уравнение.

1) $ \log_2 x = 2 \log_3 x $

Перейдем к натуральному логарифму: $ \frac{\ln x}{\ln 2} = 2 \frac{\ln x}{\ln 3} \implies \ln x \left(\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3}\right) = 0 $.

Отсюда либо $ \ln x = 0 $ (т.е. $ x=1 $), либо $ \frac{1}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 3} \implies \ln 3 = 2 \ln 2 = \ln(2^2) \implies 3=4 $, что неверно. Единственное решение — $ x=1 $.

2) $ \log_2 x = 3 \log_3 x $

Перейдем к натуральному логарифму: $ \frac{\ln x}{\ln 2} = 3 \frac{\ln x}{\ln 3} \implies \ln x \left(\frac{1}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3}\right) = 0 $.

Отсюда либо $ \ln x = 0 $ (т.е. $ x=1 $), либо $ \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 3} \implies \ln 3 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) \implies 3=8 $, что неверно. Единственное решение здесь также $ x=1 $.

Все ветви решения приводят к единственному корню.

Ответ: $ x=1 $.