Номер 6.17, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.17, страница 172.

6.17 a) $5^{2x - 5} = 125;$

б) $3^{5x - 2} = 27;$

В) $7^{8x - 2} = 49;$

Г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} = 4;$

Д) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 + x} = \frac{1}{9};$

е) $5^{x^2 - 2x} = 0,2.$

а)
Дано показательное уравнение $5^{2x-5} = 125$.
Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 5.
Число 125 можно представить как степень числа 5: $125 = 5^3$.
Подставим это в исходное уравнение: $5^{2x-5} = 5^3$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x - 5 = 3$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$2x = 3 + 5$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
Ответ: 4

б)
Дано уравнение $3^{5x-2} = 27$.
Приведем обе части к основанию 3. Число 27 это $3^3$.
Получаем уравнение: $3^{5x-2} = 3^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$5x - 2 = 3$
Решаем линейное уравнение:
$5x = 3 + 2$
$5x = 5$
$x = \frac{5}{5}$
$x = 1$
Ответ: 1

в)
Дано уравнение $7^{8x-2} = 49$.
Приведем обе части к основанию 7. Число 49 это $7^2$.
Получаем уравнение: $7^{8x-2} = 7^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$8x - 2 = 2$
Решаем линейное уравнение:
$8x = 2 + 2$
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$x = 0,5$
Ответ: 0,5

г)
Дано уравнение $(\frac{1}{2})^{x^2-3x} = 4$.
Приведем обе части к одному основанию, например, к основанию 2.
Левую часть можно записать так: $(\frac{1}{2})^{x^2-3x} = (2^{-1})^{x^2-3x} = 2^{-(x^2-3x)} = 2^{-x^2+3x}$.
Правую часть можно записать так: $4 = 2^2$.
Теперь уравнение выглядит так: $2^{-x^2+3x} = 2^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$-x^2 + 3x = 2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$.
$x_1 = \frac{3+1}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{3-1}{2} = 1$.
Ответ: 1; 2

д)
Дано уравнение $(\frac{1}{3})^{x^2+x} = \frac{1}{9}$.
Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$.
Правую часть можно записать так: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x^2+x} = (\frac{1}{3})^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 + x = 2$
Переносим все в левую часть:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение равно -2. Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$.
Ответ: -2; 1

е)
Дано уравнение $5^{x^2-2x} = 0,2$.
Приведем обе части к основанию 5.
Десятичную дробь 0,2 представим в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Уравнение принимает вид: $5^{x^2-2x} = 5^{-1}$.
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 - 2x = -1$
Переносим все в левую часть:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Ответ: 1