Номер 6.18, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.18, страница 172.

6.18 а) $\log_2 (3x - 7) = 1;$

б) $\log_3 (2x - 11) = 2;$

в) $\log_{\frac{1}{4}} (3x - 2) = 0;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} (5x - 2) = -3;$

д) $\log_{\frac{1}{3}} (x + 12) = -2;$

е) $\log_2 (7x - 5) = -2.$

а) Решим логарифмическое уравнение $ \log_2(3x - 7) = 1 $.
Для решения воспользуемся определением логарифма: $ \log_b a = c $ равносильно $ a = b^c $. Также необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), где аргумент логарифма должен быть строго положительным.
ОДЗ: $ 3x - 7 > 0 \implies 3x > 7 \implies x > \frac{7}{3} $.
Теперь решаем уравнение:
$ 3x - 7 = 2^1 $
$ 3x - 7 = 2 $
$ 3x = 9 $
$ x = 3 $
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $ 3 > \frac{7}{3} $ (так как $ \frac{9}{3} > \frac{7}{3} $). Условие выполняется, следовательно, корень подходит.
Ответ: $3$.

б) Решим уравнение $ \log_3(2x - 11) = 2 $.
ОДЗ: $ 2x - 11 > 0 \implies 2x > 11 \implies x > \frac{11}{2} $ или $ x > 5.5 $.
По определению логарифма:
$ 2x - 11 = 3^2 $
$ 2x - 11 = 9 $
$ 2x = 20 $
$ x = 10 $
Проверяем корень: $ 10 > 5.5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $10$.

в) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{4}}(3x - 2) = 0 $.
ОДЗ: $ 3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3} $.
По определению логарифма:
$ 3x - 2 = \left(\frac{1}{4}\right)^0 $
$ 3x - 2 = 1 $
$ 3x = 3 $
$ x = 1 $
Проверяем корень: $ 1 > \frac{2}{3} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

г) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(5x - 2) = -3 $.
ОДЗ: $ 5x - 2 > 0 \implies 5x > 2 \implies x > \frac{2}{5} $ или $ x > 0.4 $.
По определению логарифма:
$ 5x - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} $
$ 5x - 2 = (2^{-1})^{-3} = 2^3 $
$ 5x - 2 = 8 $
$ 5x = 10 $
$ x = 2 $
Проверяем корень: $ 2 > 0.4 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

д) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(x + 12) = -2 $.
ОДЗ: $ x + 12 > 0 \implies x > -12 $.
По определению логарифма:
$ x + 12 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $
$ x + 12 = (3^{-1})^{-2} = 3^2 $
$ x + 12 = 9 $
$ x = 9 - 12 $
$ x = -3 $
Проверяем корень: $ -3 > -12 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

е) Решим уравнение $ \log_2(7x - 5) = -2 $.
ОДЗ: $ 7x - 5 > 0 \implies 7x > 5 \implies x > \frac{5}{7} $.
По определению логарифма:
$ 7x - 5 = 2^{-2} $
$ 7x - 5 = \frac{1}{4} $
$ 7x = 5 + \frac{1}{4} $
$ 7x = \frac{20}{4} + \frac{1}{4} = \frac{21}{4} $
$ x = \frac{21}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4} $
Проверяем корень: нужно сравнить $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{7} $. Приведем дроби к общему знаменателю 28: $ \frac{3}{4} = \frac{21}{28} $ и $ \frac{5}{7} = \frac{20}{28} $. Так как $ \frac{21}{28} > \frac{20}{28} $, то $ x = \frac{3}{4} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{3}{4}$.