Номер 6.27, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного - номер 6.27, страница 173.

Условие.

6.27 a) $\log_2 x + 5 \log_x 2 = 6;$

Б) $\log_{0.5} x + 3 \log_x 0.5 = 4;$

В) $5 \log_3 x - 3 \log_x 3 = 2;$

Г) $\log_{0.3} x + 9 \log_x 0.3 = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $log_2 x + 5 log_x 2 = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для логарифмов $log_2 x$ и $log_x 2$ должны выполняться условия: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию для второго слагаемого: $log_x 2 = \frac{1}{log_2 x}$.
Подставим это в исходное уравнение: $log_2 x + 5 \cdot \frac{1}{log_2 x} = 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_2 x$. Тогда уравнение примет вид:
$t + \frac{5}{t} = 6$
Умножим обе части на $t$ (при условии $t \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 1$):
$t^2 + 5 = 6t$
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 6$
$t_1 \cdot t_2 = 5$
Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Вернемся к исходной переменной:
1) $log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$
2) $log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 32$.

б) $log_{0,5} x + 3 log_x 0,5 = 4$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

Используем формулу $log_x 0,5 = \frac{1}{log_{0,5} x}$ и подставляем в уравнение:
$log_{0,5} x + 3 \cdot \frac{1}{log_{0,5} x} = 4$

Пусть $t = log_{0,5} x$. Уравнение становится:
$t + \frac{3}{t} = 4$
$t^2 + 3 = 4t$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение (по теореме Виета $t_1+t_2=4, t_1 \cdot t_2=3$):
$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Производим обратную замену:
1) $log_{0,5} x = 1 \implies x = 0,5^1 = 0,5$
2) $log_{0,5} x = 3 \implies x = 0,5^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0,125$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0,5, x_2 = 0,125$.

в) $5 log_3 x - 3 log_x 3 = 2$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

Используем формулу $log_x 3 = \frac{1}{log_3 x}$:
$5 log_3 x - 3 \cdot \frac{1}{log_3 x} = 2$

Пусть $t = log_3 x$. Получаем уравнение:
$5t - \frac{3}{t} = 2$
$5t^2 - 3 = 2t$
$5t^2 - 2t - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Возвращаемся к переменной $x$:
1) $log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$
2) $log_3 x = -\frac{3}{5} \implies x = 3^{-3/5}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 3^{-3/5}$.

г) $log_{0,3} x + 9 log_x 0,3 = 10$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

Используем формулу $log_x 0,3 = \frac{1}{log_{0,3} x}$:
$log_{0,3} x + 9 \cdot \frac{1}{log_{0,3} x} = 10$

Пусть $t = log_{0,3} x$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{9}{t} = 10$
$t^2 + 9 = 10t$
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Решаем по теореме Виета ($t_1+t_2=10, t_1 \cdot t_2=9$):
$t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Выполняем обратную замену:
1) $log_{0,3} x = 1 \implies x = 0,3^1 = 0,3$
2) $log_{0,3} x = 9 \implies x = 0,3^9$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0,3, x_2 = 0,3^9$.