Страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.29 Используя свойства прямоугольных треугольников, найдите:

a) $sin 45^\circ$;

б) $cos \frac{\pi}{4}$;

в) $sin \frac{\pi}{6}$;

г) $cos 30^\circ$;

д) $sin 60^\circ$;

е) $cos \frac{\pi}{3}$.

а) Для нахождения $sin 45°$ рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике два острых угла равны по $45°$, а катеты (стороны, прилежащие к прямому углу) равны между собой. Пусть длина каждого катета равна $a$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $c$ (стороны, противолежащей прямому углу):
$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла в $45°$ противолежащий катет равен $a$.
$sin 45° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Сначала переведем угол из радианной меры в градусную. Зная, что $\pi$ радиан = $180°$, получаем:
$\frac{\pi}{4} = \frac{180°}{4} = 45°$.
Следовательно, нам нужно найти $cos 45°$.

Используем тот же равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и гипотенузой $a\sqrt{2}$, что и в пункте а).

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Для угла в $45°$ прилежащий катет также равен $a$.
$cos \frac{\pi}{4} = cos 45° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Переведем угол из радиан в градусы:
$\frac{\pi}{6} = \frac{180°}{6} = 30°$.
Требуется найти $sin 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острыми углами $30°$ и $60°$. По свойству такого треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна $c$, тогда катет, противолежащий углу $30°$, равен $a = \frac{c}{2}$.

По определению синуса:
$sin \frac{\pi}{6} = sin 30° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{c/2}{c} = \frac{1}{2}$

Ответ: $sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

г) Для нахождения $cos 30°$ воспользуемся тем же прямоугольным треугольником с углами $30°$, $60°$ и $90°$.

Мы знаем, что гипотенуза равна $c$, а катет, противолежащий углу $30°$, равен $a = \frac{c}{2}$. Найдем второй катет $b$ (который является прилежащим к углу $30°$) по теореме Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(\frac{c}{2})^2 + b^2 = c^2$
$\frac{c^2}{4} + b^2 = c^2$
$b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4}$
$b = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

По определению косинуса:
$cos 30° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{c\sqrt{3}/2}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

д) Для нахождения $sin 60°$ используем тот же прямоугольный треугольник с углами $30°$, $60°$, $90°$.

Из пункта г) мы знаем, что если гипотенуза равна $c$, то катет, прилежащий к углу $30°$, равен $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$. Этот катет $b$ является противолежащим для угла $60°$.

По определению синуса:
$sin 60° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{c\sqrt{3}/2}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

е) Переведем угол из радиан в градусы:
$\frac{\pi}{3} = \frac{180°}{3} = 60°$.
Требуется найти $cos 60°$.

И снова используем прямоугольный треугольник с углами $30°$, $60°$ и $90°$. Катет, прилежащий к углу $60°$, является противолежащим для угла $30°$. Мы знаем, что его длина $a = \frac{c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.

По определению косинуса:
$cos \frac{\pi}{3} = cos 60° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{c/2}{c} = \frac{1}{2}$

Ответ: $cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Вычислите, сделав рисунок (7.30–7.32):

7.30 а) $ \sin 120^\circ $; б) $ \cos \frac{2\pi}{3} $; в) $ \sin 135^\circ $; г) $ \cos \frac{3\pi}{4} $;

д) $ \sin \frac{5\pi}{6} $; е) $ \cos 150^\circ $; ж) $ \sin \pi $; з) $ \cos 180^\circ $.

а) sin 120°

Для вычисления $sin 120°$ воспользуемся единичной окружностью. Рисунок: Начертим единичную окружность с центром в начале координат. Отложим от положительного направления оси абсцисс (Ox) угол $120°$ против часовой стрелки. Конечная сторона этого угла будет находиться во второй координатной четверти. Синус угла в единичной окружности равен ординате (координате y) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью.

Угол $120°$ можно представить с помощью формулы приведения: $120° = 180° - 60°$. Применяя формулу $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$, получаем: $sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60°$. Значение синуса $60°$ является табличным: $sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) cos $\frac{2\pi}{3}$

Сначала переведем радианы в градусы, чтобы легче было представить угол: $\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot 180°}{3} = 120°$. Рисунок: Угол $120°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Косинус угла в единичной окружности равен абсциссе (координате x) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью. Во второй четверти значения косинуса отрицательны.

Используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$: $cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60°$. Табличное значение $cos 60° = \frac{1}{2}$. Следовательно, $cos \frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) sin 135°

Рисунок: На единичной окружности отложим угол $135°$. Его конечная сторона находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен.

Применим формулу приведения, представив $135° = 180° - 45°$: $sin 135° = sin(180° - 45°) = sin 45°$. Табличное значение $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) cos $\frac{3\pi}{4}$

Переведем радианы в градусы: $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180°}{4} = 135°$. Рисунок: Угол $135°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Косинус в этой четверти отрицателен.

Используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$: $cos 135° = cos(180° - 45°) = -cos 45°$. Табличное значение $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

д) sin $\frac{5\pi}{6}$

Переведем радианы в градусы: $\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180°}{6} = 150°$. Рисунок: Угол $150°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен.

Применим формулу приведения, представив $150° = 180° - 30°$: $sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30°$. Табличное значение $sin 30° = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) cos 150°

Рисунок: Угол $150°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Косинус в этой четверти отрицателен.

Используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$: $cos 150° = cos(180° - 30°) = -cos 30°$. Табличное значение $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $cos 150° = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ж) sin $\pi$

Угол $\pi$ радиан равен $180°$. Рисунок: На единичной окружности угол $180°$ соответствует точке, лежащей на отрицательной части оси абсцисс. Координаты этой точки $(-1, 0)$.

Синус угла равен ординате (координате y) этой точки. $sin \pi = sin 180° = 0$.
Ответ: $0$

з) cos 180°

Рисунок: Угол $180°$ на единичной окружности соответствует точке с координатами $(-1, 0)$.

Косинус угла равен абсциссе (координате x) этой точки. $cos 180° = -1$.
Ответ: $-1$

7.31 а) $sin 225^\circ$;

б) $cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)$;

в) $sin (-\pi)$;

г) $cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

д) $sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

е) $cos \frac{3\pi}{2}$.

а)

Чтобы найти значение $\sin 225^\circ$, можно использовать формулы приведения. Представим угол $225^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 45^\circ$.
$ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) $
Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$, так как угол $180^\circ + \alpha$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
$ \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ $
Значение синуса $45^\circ$ является табличным: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

Для нахождения значения $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$ воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$ \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) $
Теперь применим формулу приведения. Представим угол $\frac{3\pi}{4}$ как $\pi - \frac{\pi}{4}$.
$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) $
По формуле приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, так как угол $\pi - \alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$ \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $
Табличное значение косинуса $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в)

Чтобы найти значение $\sin(-\pi)$, используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$ \sin(-\pi) = -\sin(\pi) $
Значение синуса угла $\pi$ (или $180^\circ$) равно 0. Это ордината точки на единичной окружности, соответствующей углу $\pi$.
$ \sin(\pi) = 0 $
Следовательно, $\sin(-\pi) = -0 = 0$.
Ответ: $0$

г)

Для вычисления $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ применим свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $
Значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ (косинус $60^\circ$) является табличным.
$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $
Ответ: $\frac{1}{2}$

д)

Для вычисления $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $
Значение синуса угла $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$) равно 1. Это ордината точки на единичной окружности, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$.
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
Следовательно, $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
Ответ: $-1$

е)

Чтобы найти значение $\cos\frac{3\pi}{2}$, рассмотрим единичную окружность. Угол $\frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$) соответствует точке с координатами $(0, -1)$.
Косинус угла — это абсцисса (координата x) соответствующей точки на единичной окружности.
Для угла $\frac{3\pi}{2}$ абсцисса равна 0.
Следовательно, $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$

7.32 а) $\sin \frac{11\pi}{2}$;

б) $\cos \left(-\frac{13\pi}{4}\right)$;

в) $\sin \frac{7\pi}{3}$;

г) $\cos \left(-\frac{13\pi}{6}\right)$.

а) Чтобы найти значение $\sin\frac{11\pi}{2}$, воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $2\pi$. Представим аргумент $\frac{11\pi}{2}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{11\pi}{2} = \frac{8\pi + 3\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 4\pi + \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.

Используя свойство периодичности $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$ для целого $k$, получаем:

$\sin\frac{11\pi}{2} = \sin(2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin\frac{3\pi}{2}$.

Значение синуса для угла $\frac{3\pi}{2}$ равно -1.

Ответ: -1

б) Для вычисления $\cos(-\frac{13\pi}{4})$ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\cos(-\frac{13\pi}{4}) = \cos(\frac{13\pi}{4})$.

Теперь используем периодичность косинуса, период которого равен $2\pi$. Представим аргумент $\frac{13\pi}{4}$ в виде суммы, выделив целое число периодов ($2\pi = \frac{8\pi}{4}$).

$\frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$.

Следовательно, $\cos\frac{13\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos\frac{5\pi}{4}$.

Чтобы найти значение $\cos\frac{5\pi}{4}$, можно использовать формулу приведения. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.

$\cos\frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4}$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos(-\frac{13\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{3}$, используем свойство периодичности синуса (период $2\pi$). Представим аргумент $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы, выделив целое число периодов ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$).

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Используя свойство $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$, получаем:

$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3}$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Для вычисления $\cos(-\frac{13\pi}{6})$ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\cos(-\frac{13\pi}{6}) = \cos(\frac{13\pi}{6})$.

Теперь используем периодичность косинуса (период $2\pi$). Представим аргумент $\frac{13\pi}{6}$ в виде суммы, выделив целое число периодов ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$).

$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Используя свойство $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$, получаем:

$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6}$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

7.33 На миллиметровой бумаге постройте систему координат с единичным отрезком 10 см. Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку $(1; 0)$. Найдите приближённо (с точностью до сотых):

a) $ \sin 30^\circ;$

б) $ \cos 60^\circ;$

в) $ \sin 150^\circ;$

г) $ \cos 150^\circ;$

д) $ \sin 190^\circ;$

е) $ \cos 250^\circ;$

ж) $ \sin 250^\circ;$

з) $ \cos 300^\circ;$

и) $ \sin 300^\circ.$

Для решения этой задачи мы используем единичную окружность, построенную в системе координат. Центр окружности находится в начале координат O(0; 0), а ее радиус $R$ равен 1 (так как она проходит через точку (1; 0)). Единичный отрезок на осях равен 10 см, что означает, что радиус окружности на миллиметровой бумаге будет равен 10 см.

По определению, для любой точки $P(x; y)$ на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, ее координаты равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

Таким образом, чтобы найти значение синуса или косинуса, нужно:

1. С помощью транспортира отложить от положительной части оси Ox нужный угол $\alpha$.
2. Отметить точку $P$ пересечения стороны угла с окружностью.
3. Измерить координату $x$ (абсциссу) или $y$ (ординату) этой точки с помощью линейки.
4. Разделить полученное значение в сантиметрах на длину единичного отрезка (10 см), чтобы получить безразмерную величину синуса или косинуса.

Ниже приведены решения для каждого пункта с точностью до сотых.

а) sin 30°
Откладываем угол $\alpha = 30°$. Это угол в первой координатной четверти. Точка $P$ на окружности будет иметь положительные координаты. Нас интересует ордината (координата $y$) этой точки. Измерив расстояние от точки $P$ до оси Ox, мы получим 5 см. Разделив это на длину радиуса (10 см), получаем значение синуса: $\sin(30^\circ) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

б) cos 60°
Откладываем угол $\alpha = 60°$. Точка находится в первой четверти. Нас интересует абсцисса (координата $x$) этой точки. Измерив расстояние от точки $P$ до оси Oy, мы получим 5 см. Значение косинуса: $\cos(60^\circ) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

в) sin 150°
Угол $\alpha = 150°$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$). Ордината ($y$) в этой четверти положительна. Угол $150^\circ$ симметричен углу $30^\circ$ относительно оси Oy. Это значит, что их синусы равны: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$. Измеренная ордината будет равна 5 см. Значение синуса: $\frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

г) cos 150°
Для угла $\alpha = 150°$ во второй четверти абсцисса ($x$) отрицательна. Учитывая симметрию с углом $30^\circ$, значение косинуса будет таким же по модулю, как $\cos(30^\circ)$, но с отрицательным знаком: $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Измерив абсциссу точки, мы получим примерно -8,66 см. Значение косинуса: $\frac{-8.66 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.87$.
Ответ: -0.87

д) sin 190°
Угол $\alpha = 190^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Опорный угол равен $190^\circ - 180^\circ = 10^\circ$. Таким образом, $\sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ)$. Измерив ординату точки, мы получим примерно -1,74 см. Значение синуса: $\frac{-1.74 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.17$.
Ответ: -0.17

е) cos 250°
Угол $\alpha = 250^\circ$ находится в третьей четверти. Абсцисса ($x$) здесь отрицательна. Опорный угол к оси Ox: $250^\circ - 180^\circ = 70^\circ$. Следовательно, $\cos(250^\circ) = -\cos(70^\circ)$. Измерив абсциссу точки, получим примерно -3,42 см. Значение косинуса: $\frac{-3.42 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.34$.
Ответ: -0.34

ж) sin 250°
Для угла $\alpha = 250^\circ$ в третьей четверти ордината ($y$) отрицательна. Опорный угол $70^\circ$. Следовательно, $\sin(250^\circ) = -\sin(70^\circ)$. Измерив ординату, получим примерно -9,40 см. Значение синуса: $\frac{-9.40 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.94$.
Ответ: -0.94

з) cos 300°
Угол $\alpha = 300^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$). Абсцисса ($x$) здесь положительна. Опорный угол к оси Ox: $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Таким образом, $\cos(300^\circ) = \cos(60^\circ)$. Измерив абсциссу, получим 5 см. Значение косинуса: $\frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

и) sin 300°
Для угла $\alpha = 300^\circ$ в четвертой четверти ордината ($y$) отрицательна. Опорный угол $60^\circ$. Следовательно, $\sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ)$. Измерив ординату, получим примерно -8,66 см. Значение синуса: $\frac{-8.66 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.87$.
Ответ: -0.87

7.34 a) На единичной окружности постройте точки $A_{\alpha}$, соответствующие углам $\alpha$, равным $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$. Найдите синусы и косинусы этих углов.

б) Постройте точки, симметричные точкам $A_{\alpha}$ относительно: оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат. Определите радианную меру углов, которым соответствуют построенные точки. Найдите синусы и косинусы этих углов.

а)

Точки $A_\alpha$ на единичной окружности строятся путем откладывания угла $\alpha$ от положительного направления оси Ox (оси абсцисс) против часовой стрелки. Координаты точки $A_\alpha$ равны $(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$.

- При $\alpha = 0$, точка $A_0$ совпадает с точкой $(1, 0)$.
$\cos(0) = 1$
$\sin(0) = 0$

- При $\alpha = \frac{\pi}{6}$, точка $A_{\pi/6}$ находится в первой четверти.
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

- При $\alpha = \frac{\pi}{4}$, точка $A_{\pi/4}$ находится в первой четверти.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- При $\alpha = \frac{\pi}{3}$, точка $A_{\pi/3}$ находится в первой четверти.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- При $\alpha = \frac{\pi}{2}$, точка $A_{\pi/2}$ совпадает с точкой $(0, 1)$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ:
Для $\alpha=0$: $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

б)

Пусть точка $A_\alpha$ имеет координаты $(x, y) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$.

- Точка, симметричная $A_\alpha$ относительно оси Ox, имеет координаты $(x, -y)$. Ей соответствует угол $-\alpha$. Синус нового угла равен $-\sin\alpha$, а косинус равен $\cos\alpha$.

- Точка, симметричная $A_\alpha$ относительно оси Oy, имеет координаты $(-x, y)$. Ей соответствует угол $\pi - \alpha$. Синус нового угла равен $\sin\alpha$, а косинус равен $-\cos\alpha$.

- Точка, симметричная $A_\alpha$ относительно начала системы координат, имеет координаты $(-x, -y)$. Ей соответствует угол $\pi + \alpha$. Синус нового угла равен $-\sin\alpha$, а косинус равен $-\cos\alpha$.

Найдем радианные меры углов и значения синусов и косинусов для симметричных точек.

Симметрия относительно оси Ox (новый угол $\beta = -\alpha$):
- для $\alpha=0$: $\beta=0$; $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\beta=-\frac{\pi}{6}$; $\cos(-\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\beta=-\frac{\pi}{4}$; $\cos(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\beta=-\frac{\pi}{3}$; $\cos(-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\beta=-\frac{\pi}{2}$; $\cos(-\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$.

Симметрия относительно оси Oy (новый угол $\gamma = \pi-\alpha$):
- для $\alpha=0$: $\gamma=\pi$; $\cos(\pi)=-1$, $\sin(\pi)=0$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\gamma=\frac{5\pi}{6}$; $\cos(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{6})=\frac{1}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\gamma=\frac{3\pi}{4}$; $\cos(\frac{3\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\gamma=\frac{2\pi}{3}$; $\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\gamma=\frac{\pi}{2}$; $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

Симметрия относительно начала координат (новый угол $\delta = \pi+\alpha$):
- для $\alpha=0$: $\delta=\pi$; $\cos(\pi)=-1$, $\sin(\pi)=0$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\delta=\frac{7\pi}{6}$; $\cos(\frac{7\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{7\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\delta=\frac{5\pi}{4}$; $\cos(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\delta=\frac{4\pi}{3}$; $\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{4\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\delta=\frac{3\pi}{2}$; $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.

Ответ:
1. Симметрия относительно оси Ox:
Углы: $0, -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}$.
Их косинусы: $1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$.
Их синусы: $0, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1$.
2. Симметрия относительно оси Oy:
Углы: $\pi, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.
Их косинусы: $-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}, 0$.
Их синусы: $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$.
3. Симметрия относительно начала координат:
Углы: $\pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$.
Их косинусы: $-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}, 0$.
Их синусы: $0, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1$.

Найдите синусы и косинусы следующих углов, где $k$ — любое целое число (7.35—7.36):

7.35 а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; б) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; в) $\pi + 2\pi k$;

г) $-\pi + 2\pi k$; д) $2\pi k$; е) $4\pi k$.

Для нахождения синусов и косинусов указанных углов мы воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Функции синус и косинус имеют период $2\pi$, что означает, что их значения повторяются через каждый интервал в $2\pi$. Математически это записывается так:
$\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$
$\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$
где $\alpha$ — любой угол, а $k$ — любое целое число.

а) Для угла $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Находим синус: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Находим косинус: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: синус равен $1$, косинус равен $0$.

б) Для угла $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$.
Для нахождения значений воспользуемся свойствами четности/нечетности: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а косинус — четная ($\cos(-x) = \cos(x)$).
Находим синус: $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Находим косинус: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: синус равен $-1$, косинус равен $0$.

в) Для угла $\pi + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = \pi$.
Находим синус: $\sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$.
Находим косинус: $\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $-1$.

г) Для угла $-\pi + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = -\pi$.
Находим синус: $\sin(-\pi + 2\pi k) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$.
Находим косинус: $\cos(-\pi + 2\pi k) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $-1$.

д) Угол $2\pi k$ можно представить в виде $0 + 2\pi k$, где основная часть угла $\alpha = 0$.
Находим синус: $\sin(2\pi k) = \sin(0) = 0$.
Находим косинус: $\cos(2\pi k) = \cos(0) = 1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $1$.

е) Угол $4\pi k$ можно представить как $0 + 2\pi \cdot (2k)$. Так как $k$ — целое число, то $2k$ — тоже целое число. Обозначим $n=2k$. Тогда угол равен $2\pi n$, что является частным случаем предыдущего пункта. Основная часть угла здесь также $\alpha = 0$.
Находим синус: $\sin(4\pi k) = \sin(0) = 0$.
Находим косинус: $\cos(4\pi k) = \cos(0) = 1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $1$.

7.36 а) $\pi k$;

б) $-\pi k$;

в) $\frac{\pi}{2} k$;

г) $-\frac{\pi}{2} k$;

д) $\frac{\pi}{2} + \pi k$;

е) $-\frac{\pi}{2} + \pi k$.

В данном задании представлены общие решения простейших тригонометрических уравнений. Для каждого пункта мы определим, какому уравнению соответствует данное решение, и подробно объясним, как это решение получается. Всюду в решении предполагается, что $k$ — любое целое число, то есть $k \in \mathbb{Z}$.

а) $πk$

Данная формула задает множество точек, являющихся решением тригонометрического уравнения $sin(x) = 0$.

Решение:

Уравнение $sin(x) = 0$ означает, что мы ищем углы $x$, синус которых равен нулю. На единичной окружности синус угла соответствует ординате (координате $y$) точки. Ордината равна нулю для точек, лежащих на оси абсцисс (оси $Ox$). Таких точек на единичной окружности две: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Первая точка соответствует углам вида $2\pi n$, а вторая — углам вида $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два семейства решений, мы получаем все углы, кратные $\pi$: $0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \dots$. Это можно записать одной формулой: $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Также это является решением уравнения $tan(x) = 0$, поскольку $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$, и тангенс равен нулю там же, где и синус.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(x) = 0$ (или $tan(x)=0$).

б) $-\pi k$

Рассмотрим множество значений, которые принимает выражение $-\pi k$ при $k \in \mathbb{Z}$. Если $k$ пробегает все целые числа ($\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$), то $-k$ также пробегает все целые числа ($\dots, 2, 1, 0, -1, -2, \dots$).

Обозначив $m = -k$, мы получим, что выражение $-\pi k$ эквивалентно выражению $\pi m$, где $m$ — любое целое число. Таким образом, множество значений $\{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \}$ полностью совпадает с множеством значений для выражения $\pi k$ из пункта а).

Следовательно, формула $x = -\pi k$ является альтернативной записью для того же самого множества решений, что и в пункте а).

Ответ: $x = -\pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(x) = 0$ (или $tan(x)=0$).

в) $\frac{\pi}{2} k$

Данная формула задает множество точек $0, \pm\frac{\pi}{2}, \pm\pi, \pm\frac{3\pi}{2}, \dots$. Эти точки на единичной окружности соответствуют пересечениям окружности с осями координат. В этих точках либо синус, либо косинус равен нулю. Это значит, что их произведение равно нулю: $sin(x) \cdot cos(x) = 0$.

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Уравнение $sin(x)cos(x)=0$ эквивалентно уравнению $\frac{1}{2}sin(2x) = 0$, или просто $sin(2x) = 0$.

Сделаем замену переменной: $t = 2x$. Уравнение примет вид $sin(t) = 0$.

Как мы выяснили в пункте а), решение этого уравнения имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $2x = \pi n$.

Разделим обе части на 2: $x = \frac{\pi n}{2}$.

Заменив $n$ на $k$, получим искомую формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(2x) = 0$.

г) $-\frac{\pi}{2} k$

Как и в пункте б), данная запись является альтернативной формой для решения из пункта в). Множество значений, которые принимает выражение $-\frac{\pi}{2} k$ для всех целых $k$, совпадает с множеством значений, которые принимает выражение $\frac{\pi}{2} k$.

Пусть $m = -k$. Поскольку $k$ может быть любым целым числом, $m$ также может быть любым целым числом. Тогда выражение $-\frac{\pi}{2} k$ можно переписать как $\frac{\pi}{2} m$.

Таким образом, это та же самая серия решений, что и в пункте в). Она соответствует уравнению $sin(2x)=0$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(2x) = 0$.

д) $\frac{\pi}{2} + \pi k$

Данная формула задает множество точек, являющихся решением тригонометрического уравнения $cos(x) = 0$.

Решение:

Уравнение $cos(x) = 0$ означает, что мы ищем углы $x$, косинус которых равен нулю. На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Абсцисса равна нулю для точек, лежащих на оси ординат (оси $Oy$). Таких точек на единичной окружности две: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Первая точка соответствует углам вида $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, а вторая — углам вида $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (или $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу. Заметим, что точки на оси $Oy$ повторяются через каждый полуоборот ($\pi$ радиан). Таким образом, все решения можно получить, стартуя от $\frac{\pi}{2}$ и прибавляя целое число полуоборотов ($\pi k$).

Получаем общую формулу: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Это также точки, в которых $cot(x) = 0$ или $tan(x)$ не определен.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $cos(x) = 0$.

е) $-\frac{\pi}{2} + \pi k$

Рассмотрим, как связаны множества решений $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ из пункта д).

Преобразуем выражение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k = -\frac{\pi}{2} + \pi + \pi(k-1) = \frac{\pi}{2} + \pi(k-1)$.

Обозначим $m = k-1$. Поскольку $k$ пробегает все целые числа, $m$ также пробегает все целые числа. Таким образом, мы получили выражение $\frac{\pi}{2} + \pi m$, которое имеет тот же вид, что и в пункте д).

Это доказывает, что обе формулы описывают одно и то же множество точек. Следовательно, данная формула также является решением уравнения $cos(x) = 0$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $cos(x) = 0$.