Страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.72 а) $sin \alpha = \frac{1}{2}$;

б) $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $sin \alpha = -\frac{1}{2}$;

д) $sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $cos \alpha = \frac{1}{2}$;

з) $cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $cos \alpha = -\frac{1}{2}$;

л) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Решим уравнение $sin α = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$α = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, то получаем:

$α = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то получаем:

$α = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $sin α = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то получаем:

$α = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим уравнение $sin α = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то получаем:

$α = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Решим уравнение $sin α = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, то получаем:

$α = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Решим уравнение $cos α = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то получаем:

$α = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Решим уравнение $cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, то получаем:

$α = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Решим уравнение $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$α = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Решим уравнение $cos α = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, то получаем:

$α = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Решим уравнение $cos α = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, то получаем:

$α = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Решим уравнение $cos α = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то получаем:

$α = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7.73 Постройте угол $\alpha$ из промежутка $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, синус которого равен:

а) 0;

б) $\frac{1}{2}$;

в) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $-\frac{1}{2}$;

д) $\frac{1}{3}$;

е) $-\frac{2}{3}$.

Задача состоит в построении угла $\alpha$ из промежутка $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ по известному значению его синуса. Для построения используется единичная окружность в декартовой системе координат.

Значение $\sin(\alpha)$ равно ординате (координате $y$) точки $P$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$. Углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ соответствуют точкам на правой половине единичной окружности (в I и IV координатных четвертях).

Общий алгоритм построения:

1. Начертить систему координат $xOy$ и единичную окружность (окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом 1).
2. На оси ординат (оси $y$) отметить точку, координата которой равна заданному значению синуса.
3. Через эту точку провести горизонтальную прямую.
4. Найти точку $P$ пересечения этой прямой с правой полуокружностью.
5. Угол $\alpha$, образованный положительным направлением оси абсцисс (оси $x$) и лучом $OP$, является искомым. Угол отсчитывается против часовой стрелки, если $P$ в I четверти ($\sin(\alpha) > 0$), и по часовой стрелке, если $P$ в IV четверти ($\sin(\alpha) < 0$).

а)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = 0$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На единичной окружности ищем точку на правой её половине, у которой ордината $y=0$. Такой точкой является $P(1, 0)$. Эта точка лежит на положительной части оси абсцисс. Угол, который образует луч $OP$ с положительным направлением оси абсцисс, равен нулю.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(0) = 0$.

Ответ: $\alpha = 0$

б)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На оси ординат $y$ отмечаем точку со значением $\frac{1}{2}$ и проводим горизонтальную прямую $y = \frac{1}{2}$. Эта прямая пересекает правую полуокружность в I четверти. Угол, соответствующий этой точке, является табличным значением.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6}$

в)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На оси ординат $y$ отмечаем точку со значением $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (приблизительно 0.707) и проводим горизонтальную прямую $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта прямая пересекает правую полуокружность в I четверти. Угол, соответствующий этой точке, является табличным значением.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4}$

г)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На оси ординат $y$ отмечаем точку со значением $-\frac{1}{2}$ и проводим горизонтальную прямую $y = -\frac{1}{2}$. Эта прямая пересекает правую полуокружность в IV четверти. Так как значение синуса отрицательное, угол будет отрицательным. Это табличное значение.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

д)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Так как это не табличное значение, выполним геометрическое построение. Нужно отложить на оси $y$ отрезок длиной $\frac{1}{3}$. Для этого радиус единичной окружности по оси $y$ (отрезок от 0 до 1) делим на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса). Отмечаем точку $(0, \frac{1}{3})$. Проводим горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Точка пересечения этой прямой с окружностью в I четверти задает искомый угол $\alpha$.

Этот угол равен $\alpha = \arcsin(\frac{1}{3})$.

Ответ: $\alpha = \arcsin(\frac{1}{3})$

е)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = -\frac{2}{3}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Построение аналогично предыдущему пункту. Делим отрезок на оси $y$ от 0 до -1 на три равные части. Отмечаем точку, соответствующую значению $-\frac{2}{3}$. Проводим горизонтальную прямую $y = -\frac{2}{3}$. Точка пересечения этой прямой с окружностью в IV четверти задает искомый угол $\alpha$.

Этот угол равен $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$.

Ответ: $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$

7.74 Постройте угол $\alpha$ из промежутка $0 \le \alpha \le \pi$, косинус которого равен:

a) $0$;

б) $\frac{1}{2}$;

в) $-\frac{1}{2}$;

г) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

д) $-\frac{1}{3}$;

е) $\frac{2}{3}$.

Для построения угла $α$ из промежутка $0 \le α \le π$ по известному значению его косинуса, мы используем единичную окружность. Алгоритм построения следующий:

1. В декартовой системе координат $xOy$ строим окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$. Такая окружность называется единичной.
2. По определению, косинус угла $α$ на единичной окружности равен абсциссе (координате $x$) точки $P$, которая является концом радиус-вектора, повернутого на угол $α$ от положительного направления оси $Ox$.
3. На оси абсцисс $Ox$ отмечаем точку $C$ с координатой, равной данному значению косинуса.
4. Через точку $C$ проводим прямую, перпендикулярную оси $Ox$.
5. Эта прямая пересечет единичную окружность. Так как по условию угол $α$ находится в промежутке $0 \le α \le π$, нас интересует точка пересечения $P$, расположенная в верхней полуплоскости (I и II координатные четверти).
6. Искомый угол $α$ — это угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

а) Построить угол $α$, если $cos(α) = 0$.

На оси $Ox$ отмечаем точку с абсциссой $x=0$. Эта точка совпадает с началом координат $O$. Проводим через нее вертикальную прямую, которая совпадает с осью $Oy$. Эта прямая пересекает верхнюю часть единичной окружности в точке $P$ с координатами $(0, 1)$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ равен $90°$.

Ответ: $α = \frac{π}{2}$.

б) Построить угол $α$, если $cos(α) = \frac{1}{2}$.

На положительной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = \frac{1}{2}$ (середина радиуса $OA$, где $A(1,0)$). Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости. Получаем точку $P$. Так как $cos(α) > 0$, угол $α$ находится в I четверти. Соединяем точку $P$ с началом координат. Угол $AOP$ является искомым углом. Это известный табличный угол.

Ответ: $α = \frac{π}{3}$.

в) Построить угол $α$, если $cos(α) = -\frac{1}{2}$.

На отрицательной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = -\frac{1}{2}$. Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости. Получаем точку $P$. Так как $cos(α) < 0$, угол $α$ находится во II четверти. Угол $AOP$, отсчитанный от положительного направления оси $Ox$, является искомым углом.

Ответ: $α = \frac{2π}{3}$.

г) Построить угол $α$, если $cos(α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На положительной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (приблизительно $0.87$). Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости в точке $P$. Угол $α$ находится в I четверти. Угол $AOP$ является искомым углом. Это известный табличный угол.

Ответ: $α = \frac{π}{6}$.

д) Построить угол $α$, если $cos(α) = -\frac{1}{3}$.

На отрицательной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = -\frac{1}{3}$. Для этого единичный отрезок на отрицательной полуоси делим на три равные части и берем первую отметку от начала координат. Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости в точке $P$. Угол $α$ находится во II четверти. Угол $AOP$ и есть искомый угол.

Ответ: Построенный угол $α = arccos(-\frac{1}{3})$.

е) Построить угол $α$, если $cos(α) = \frac{2}{3}$.

На положительной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = \frac{2}{3}$. Для этого единичный отрезок $OA$ делим на три равные части и берем отметку, соответствующую двум частям от начала координат. Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости в точке $P$. Угол $α$ находится в I четверти. Угол $AOP$ и есть искомый угол.

Ответ: Построенный угол $α = arccos(\frac{2}{3})$.