Номер 7.73, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.73, страница 216.

7.73 Постройте угол $\alpha$ из промежутка $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, синус которого равен:

а) 0;

б) $\frac{1}{2}$;

в) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $-\frac{1}{2}$;

д) $\frac{1}{3}$;

е) $-\frac{2}{3}$.

Задача состоит в построении угла $\alpha$ из промежутка $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ по известному значению его синуса. Для построения используется единичная окружность в декартовой системе координат.

Значение $\sin(\alpha)$ равно ординате (координате $y$) точки $P$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$. Углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ соответствуют точкам на правой половине единичной окружности (в I и IV координатных четвертях).

Общий алгоритм построения:

1. Начертить систему координат $xOy$ и единичную окружность (окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом 1).
2. На оси ординат (оси $y$) отметить точку, координата которой равна заданному значению синуса.
3. Через эту точку провести горизонтальную прямую.
4. Найти точку $P$ пересечения этой прямой с правой полуокружностью.
5. Угол $\alpha$, образованный положительным направлением оси абсцисс (оси $x$) и лучом $OP$, является искомым. Угол отсчитывается против часовой стрелки, если $P$ в I четверти ($\sin(\alpha) > 0$), и по часовой стрелке, если $P$ в IV четверти ($\sin(\alpha) < 0$).

а)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = 0$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На единичной окружности ищем точку на правой её половине, у которой ордината $y=0$. Такой точкой является $P(1, 0)$. Эта точка лежит на положительной части оси абсцисс. Угол, который образует луч $OP$ с положительным направлением оси абсцисс, равен нулю.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(0) = 0$.

Ответ: $\alpha = 0$

б)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На оси ординат $y$ отмечаем точку со значением $\frac{1}{2}$ и проводим горизонтальную прямую $y = \frac{1}{2}$. Эта прямая пересекает правую полуокружность в I четверти. Угол, соответствующий этой точке, является табличным значением.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6}$

в)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На оси ординат $y$ отмечаем точку со значением $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (приблизительно 0.707) и проводим горизонтальную прямую $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта прямая пересекает правую полуокружность в I четверти. Угол, соответствующий этой точке, является табличным значением.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4}$

г)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

На оси ординат $y$ отмечаем точку со значением $-\frac{1}{2}$ и проводим горизонтальную прямую $y = -\frac{1}{2}$. Эта прямая пересекает правую полуокружность в IV четверти. Так как значение синуса отрицательное, угол будет отрицательным. Это табличное значение.

Следовательно, $\alpha = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

д)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Так как это не табличное значение, выполним геометрическое построение. Нужно отложить на оси $y$ отрезок длиной $\frac{1}{3}$. Для этого радиус единичной окружности по оси $y$ (отрезок от 0 до 1) делим на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса). Отмечаем точку $(0, \frac{1}{3})$. Проводим горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Точка пересечения этой прямой с окружностью в I четверти задает искомый угол $\alpha$.

Этот угол равен $\alpha = \arcsin(\frac{1}{3})$.

Ответ: $\alpha = \arcsin(\frac{1}{3})$

е)

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = -\frac{2}{3}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Построение аналогично предыдущему пункту. Делим отрезок на оси $y$ от 0 до -1 на три равные части. Отмечаем точку, соответствующую значению $-\frac{2}{3}$. Проводим горизонтальную прямую $y = -\frac{2}{3}$. Точка пересечения этой прямой с окружностью в IV четверти задает искомый угол $\alpha$.

Этот угол равен $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$.

Ответ: $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$