Номер 7.77, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.77, страница 219.

7.77 Имеет ли смысл запись:

а) arcsin $\frac{\pi}{2}$;

б) arcsin $\frac{\pi}{3}$;

в) arcsin $\frac{\pi}{4}$;

г) arcsin $\pi$;

д) arcsin $\left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

е) arcsin $\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

ж) arcsin $\left(-\frac{3}{4}\right)$;

з) arcsin $\frac{\sqrt{5}}{2}$;

и) arcsin $\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right)$?

Для того чтобы запись $\arcsin(x)$ имела смысл, необходимо, чтобы ее аргумент $x$ принадлежал области определения функции арксинус. Областью определения функции $y = \arcsin(x)$ является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для каждого случая мы должны проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le x \le 1$.

а) $\arcsin\frac{\pi}{2}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$. Поскольку $1.57 > 1$, значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

б) $\arcsin\frac{\pi}{3}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.047$. Поскольку $1.047 > 1$, значение $\frac{\pi}{3}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin\frac{\pi}{4}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{4}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$. Поскольку $-1 \le 0.785 \le 1$, значение $\frac{\pi}{4}$ входит в область определения арксинуса.

Ответ: имеет смысл.

г) $\arcsin\pi$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\pi$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14 > 1$, значение $\pi$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

д) $\arcsin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{\pi}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$, то $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57 < -1$. Значит, значение $-\frac{\pi}{2}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

е) $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\frac{\pi}{3} \approx 1.047 > 1$, то $-\frac{\pi}{3} \approx -1.047 < -1$. Значит, значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

ж) $\arcsin\left(-\frac{3}{4}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{3}{4}$ отрезку $[-1, 1]$. Значение $-\frac{3}{4} = -0.75$. Поскольку $-1 \le -0.75 \le 1$, значение $-\frac{3}{4}$ входит в область определения арксинуса.

Ответ: имеет смысл.

з) $\arcsin\frac{\sqrt{5}}{2}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\sqrt{5}}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Сравним $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с $1$. Это равносильно сравнению $\sqrt{5}$ с $2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{2}{2} = 1$. Значит, значение $\frac{\sqrt{5}}{2}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

и) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{\sqrt{17}}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Сравним $-\frac{\sqrt{17}}{2}$ с $-1$. Это равносильно сравнению $\frac{\sqrt{17}}{2}$ с $1$ (знак неравенства изменится на противоположный). Сравним $\sqrt{17}$ с $2$. Так как $17 > 4$, то $\sqrt{17} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $\frac{\sqrt{17}}{2} > \frac{2}{2} = 1$, а это означает, что $-\frac{\sqrt{17}}{2} < -1$. Таким образом, значение не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.